3.1.2 指数函数教案1

第十六课时

指数函数（1）

【学习导航】 当0a1时，函数yax

单调性是在R上是减函数 ．

知识网络 指数函数

图象

性质

定义

比较大小

不等式的解

【精典范例】

例1：比较大小：

复合函数的性质

学习要求

1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；

2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。

3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小．

4．提高观察、运用能力．

（1）（2）1.52.5,1.53.2；0.51.2,0.51.5；（3）1.50.3,0.81.2．

分析：利用指数函数的单调性．

【解】（1）考虑指数函数f(x)1.5x，1.51，

f(x)1.5x在R上是增函数，

∴1.52.51.53.2．

自学评价

1．形如

（2）考虑指数函数f(x)0.5x，0.51，

yax(a0,a0)

f(x)0.5x在R上是减函数，

的函数叫做指数函数，其中自变量是

x ，1.20.51.5．

∴0.5函数定义域是

R ，

xx（3）f(x)1.5在R上是增函数，f(x)0.8值域是

(0,)

．

在R上是减函数，

2. 下列函数是为指数函数有

②

③ 0.301.20∴1.51.51，0.80.81

⑤ ．

0.31.2∴1.50.8．

2x①yx ②y8 点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑1

x③y(2a1)（a且a1）④指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，2要寻找第三个值来与之比较．

y(4)x

2

xx 例2：

⑤y ⑥y52x1

⑦yxx0.5⑧y10．

3.指数函数ya(a0,a0)恒经过点 xx（1）已知33，求实数x的取值范围；（2）已知0.x225，求实数x的取值范围. x(0,1) ．

4.当a1时，函数ya单调性

x分析：利用指数函数的单调性. 【解】（1）f(x)3在R上是增函数，

由33x0.5得x0.5，即实数x的取值范围是为

在R上是增函数 ；

[0.5,). （2）f(x)0.2x25在R上是减函数，

又25(1)250.22，

由0.2x0.22得x2，即实数x的取值范围是(2,).

点评:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.

例3：设a是实数，

f(x)a22x1(xR)，

（1）求a的值，使函数f(x)为奇函数

（2）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数；

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。

（1）∵f(x)a22x122xa12x，

由f(x)是奇函数，∴f(x)f(x)0

即2a2(12x)12x0，∴a1. （2）证明：设x1,x2R,x1x2，则

f(x1)f(x2)(a222x11)(a2x21)

222x212x1

12(2x12x2)(2x1)(2，

1x21)由于指数函数y2x在R上是增函数，且x1x2，所以2x12x2即2x12x20，

又由2x0，得2x110，2x210，

所以，f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)．

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R为增函数.

点评:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题.

追踪训练一

1.若函数y(1a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是 （B） （A）(1,)

（B）(0,1)

（C）(,1)（D）(1,1)

2.已知函数yax(a0,a1)在区间[1,1]上的最大值与最小值的差是1，求实数a的值；

解：当a1时，函数yax在区间[1,1]上是增函数，a1a11，∵a1，∴a152；

当0a1时，函数yax在区间[1,1]上是减函数，a1a11，∵0a1，

∴a152；

综上：a15152或a2．

3.

解不等式：(1)9x3x2

(2)34x26x0

析：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围．

解：(1)∵9x3x2

∴32x3x2

又∵y3x在定义域上是增函数

∴原不等式等价于2xx2

解之得x2

∴原不等式的解集为{x|x2}

(2)34x26x0可以整理为34x26x

∵4x0,6x0，

∴4x26x3即(23)x(23)1，

又∵y(2x3)在定义域上是减函数，∴x1

故原不等式的解集为{x|x1}．

【选修延伸】

一、与指数函数有关的复合函数

例4: 求函数y(1x26x172)的定义域、值域、单调区间． 分析：原函数由函数ux26x17与y(12)u复合而成，求解时要统筹考虑．

【解】设ux26x17，则y(1u2)，由于它们的定义域都是R，所以函数y(1)x26x172的定义域为R．

因为ux26x17(x3)288，

所以(1)u(1)8，又(1)u2220，

函数y(1x26x1712)的值域为(0,256]．

函数ux26x17在[3,)是增函数，而y(1)u2在R上是减函数，

所以设3x1x2，则u1u2，

从而(1)u1(1)u222，即y1y2，

函数y(1x26x172)在[3,)是增函数，

同理：函数y(1x26x172)在(,3]是减函数，函数y(12)x26x17的增区间[3,)，减区间是(,3]．

点评:形如yaf(x)(a0,a1)的定义域与yf(x)的定义域相同；求值域时要先确定f(x)的值域，再根据指数函数的性质

确定yaf(x)(a0,a1)的值域；

当a1时，yaf(x)与yf(x)的单调性相同，

当0a1时，yaf(x)与yf(x)的单调性相反．

思维点拔：

（1）比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；（2）与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质．

追踪训练二

1．求下列函数的定义域、值域：

1(1)y82x1 (2)y1(1)x2 解：（1）2x10 ∴x12 原函数的定义域是{xxR,x12}，

令t12x1

则t0,tR

∴y8t(tR,t0)得y0,y1，

所以，原函数的值域是{yy0,y1}．

（2）1(1)x20 ∴x0 原函数的定义域是0,，

令t1(12)x(x0) 则0t1，

是增函数

所以，原函数的值域是0,1．

yt在∴0y1，

0,1

学生质疑

教师释疑