3.4.1 函数与方程ppt配用优秀教学设计

3.4.1

函数与方程

一、教学目标

1.以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，学生们能通过观察归纳出方程的根与函数的零点的关系。

2.学生能掌握函数零点存在定理并能够较好的掌握这种解题方法。

3.学生能在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

二、学情分析

学生在初中已经学习过一元二次方程，会求方程的根。

三、教学重点与难点

重点：理解函数零点与方程的实数根之间的关系及与图像与x轴交点的横坐标间的关系；学会并掌握函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；运用函数零点存在定理解决问题。

四、教学过程

教学

教

学

内

容

师生互动

理论依据及设计意图

过程

设

问

激

疑

创

设

情

境

同学们非常快的判断出由学生熟悉的方程推进问题1：前3个二次方程是否有到一个本身不能求解的判断下列方程有没有根，若有求出。根，但在判断方程（4）方程，造成学生的认知冲(1)x22x30(2)x22x10(3)x22x30(4)x33x10

时，遇到了困难。

今天我们学习《函数与方程》，通过这节课的学习我们会有足够多的知识来判断第4个三次方程是否有根。

下节课我们可以把这个根找出来。

突，引发学生的兴趣，激发学生的求知欲望，引导学生将方程与函数联系起来，引入新课。

1

完成该表格：（请同学们思考）

学生由二次方程说出对应的二次函数，再结合相应的二次函数的图象发现方程的实数根与函数图象与x轴交点的关系。

问题2：上述3个二次方程的根和相应的

二次函数图象与x轴的交点之间有何关

教师指出：二次函数值为系？

第一个方程的根-1和3是对应的二次函0时的实数x起到了联系数图象与x轴交点的横坐标，将-1和3方程与函数的作用，这个代入函数能使y=0，我们把-1和3称为二数称之为二次函数的零点。

2yx2x3次函数的零点。

（二次函数的零点定义）

启

发

引

导

形

成

概

念

我们把使二次函数yx22x3的值为0的实数（即二次方程xx22x30的实数根）称为二次函数yx22x3的零点。从图象上看，二次函数yx22x3的零点，就是抛物线与x轴交点的横坐标。2yx1的零点？

问：你能不能给出问：你能不能给出有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础。

第一次出现零点的概念。

yax2bxc(a0)的零点定义？

师生结合二次函数图象说出方程根的个数和图象与x轴交点个数的关系。

学生通过填表，从表中自己归纳出三者间的联系，进行叙说总结。

当a0时，二次函数yax2bxc

的零点和表格中的什么是一致的？

例1：

求证：二次函数y2x23x7有

两个不同的零点。

延伸拓展：仿照二次函数零点定义说出下由二次函数的零点定义类比到任意函数的零点，列函数的零点定义并判断下列函数是否引出任意函数的零点定义。

有零点，若有请求出：

填表：

把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力。

通过练习，巩固二次函数零点的定义。

(1)yx1

(2)y

11

x

2

互

动

交

流

研

讨

新

知

问题3:开学至今我们学了很多具体的函数，那么任意函数yf(x)的零点又是怎样定义的呢？

引出函数零点的概念。

让学生加深对函数零点定义的感知。

一、函数零点的定义：

教师叙述并板书定义。

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x教师设置问题

叫做函数y=f(x)的零点。

学生主动思考，积极回

答，归纳零点概念的注意思考：零点是不是点？

点。

注：

（1）函数零点是一个实数，是对应方程的根，不是一个点坐标；

（2）函数的零点也就是函数图象与x轴交点的横坐标；

（3）求零点就是求方程f(x)=0的实数根，也就是求函数图象与x轴交点的横坐标。

问题4：是不是所有的函数都有零点？

判断二次函数以外的几练习1：判断下列函数是否有零点，若有，个常见函数是否有零点。请求出。

（1）和（2）可以由图象直接判断。

1(1)y

小结：求零点的方法有代x数法和图象法。

x(2)y2

让学生加深对函数零点概念的理解。

巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况。进一步体会方程与函数的关系。

(3)ylog2x2

刚才我们研究的都是函数在定义域内是否有零点，那么现在我们回顾问题1中的几个函数，请同学们思考：

(1)f(x)x22x3在(2,0)上是否有零点？

学生思考。

如果说第一个二次函数还能通过求根或图象判断的话，那么第二个三次函数就不行了，既不能用设问，引出函数零点的存在定理。

法又不会画图。怎么办？接下来我们就来介绍一种比法应用更普遍的好方法。

(2)f(x)x33x1在(2,0)上是否有零点？

3

（生活实例

渡河问题）

现在，我用一个电影片段来说一下。

思考1：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？

由生活实例感受零点存在的条件。

从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。

让学生自己动手画。

讨

A、B两点在x轴的两侧和一侧时分别作图判断。

论

结论：A、B两点在x轴的两侧。

注意：即使A、B两点在探

x轴的一侧，也无法保证他就一定不曾渡过河。只究

需在x轴另一侧找到一点

就行。

（学生作图）

建立平面直角坐标系。

揭

思考3：A、B与x轴的位置关系如何数实质：图象在x轴的交点学符号（式子）来表示？

的左右两侧的函数值异

号。

示

f(a)f(b)0

思考2：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。

由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。

4

定

理

（数学实例）

回顾引例

2f(x)x2x3在其零观察1：函数学生观察引例中的二次函数，在具体的实例中进一步体会零点存在的条件。

点附近函数值的变化情况。

(1)f(2)f(1)0，函数在区间（2，1）内有零点；(2)f(1)f(4)0,函数在区间（1，4）内有零点.观察2：函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况。

紧扣引例，从特殊到一般。

让学生在思考、操作中体会用函数图象分析函数零点存在的过程，直观感知零点存在定理中的条件与结论，突出本节课的重点，突破了难点。

学生对定理的两个条件认识已经成熟，适时升华，从而进一步突破本节课的难点。

（）1f(a)f(b)0,函数在区间(a,b)内有零点(2)f(b)f(c)0,函数在区间(b,c)内有零点

(3)f(c)f(d)0,函数在区间(c,d)内有零点问题5：你发现了什么？

二、函数零点存在定理

如果函数f(x)在[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么yf(x)在区间(a,b)上有零点。

思考：如果函数f(x)在[a,b]上满足

教师引导学生尝试表述定理。

f(a)f(b)0，则yf(x)在区间

(a,b)上一定有零点吗？

（完善图象不间断这一条件）

5

观

察

感

知

例

题

学

习

学生运用零点存在定理。

判断函数f(x)x22x1例2说明即使在(a,b)上在区间（2，3）上是否存在零点。

f(a)f(b)>0,也不能说明就在区间（1，3）上呢？一定没零点。

例3.求证：函数f(x)x3x21回顾渡河片段。

在区间(-2,-1)上存在零点。在例3的铺垫下研究例4. 例4、（回顾引例）

让学生自己计算整点处3的函数值，判断有没有零分析函数f(x)x3x1

点。

在定义域内是否有零点？

例2.不解方程，

（备用练习）：

（）判断函数1f(x)exx3在区间[1，2]上是否存在零点；例4紧扣引例，回顾课堂初学生无法解决的问题，用函数的思想解决这个三次方程无法直接求根的困难。

通过练习，让学生应用定理直接找出零点所在的区间。

用零点存在定理解决问

题，同时反映教学效果，

解决（2）可用数形结合，便于查漏补缺。

再次紧扣本节课的课题

《函数与方程》。

（2）判断函数f(x)xlnx1的零点的个数。

反

思

小

结

培

养

能

力

总结：

知识上的收获：

1、二次函数零点的定义

2、任意函数零点的定义

3、函数的零点存在定理

请同学们说说，这节课你收获了哪些知识，获得了哪些方法。

学生自己总结发言。

师生共同反思。

总结本节课的知识点和主要数学方法。

优化学生的认知结构，把课堂所学内容内化为学生的自己的知识和能力。

6

课

后

作

业

留

有

余

味

作业：习题3.4（1）

1、2、3、5、8

思考：回顾引例，我们已经知道，函数fxx33x1的零点在（-2，-1），（0，1）及（1，2）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维。

紧扣引例，使得整节课完整，为下节课的二分法求方程的近似解作准备。

五、板书设计

函数与方程

一、函数零点的定义

二、函数零点存在定理

例2 例3 （作图区）

学生举的各种图象例子

练习

7