3.1.2 指数函数教案（名师）

§2.5

指数与指数函数

考情考向分析

直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为填空题，中档难度．

1．分数指数幂

(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定amnmnn1amn(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ars，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. ＋2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

定义域

值域

(1)R

(2)(0，＋∞)

(3)过定点(0,1)

性质

(4)当x>0时，y>1；

当x<0时，0

(6)在(－∞，＋∞)上是增函数

知识拓展

1．指数函数图象的画法

1－1，. 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，a

(5)当x>0时，0

当x<0时，y>1

(7)在(－∞，＋∞)上是减函数

2. 指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a＝(a)n＝a(n∈N*)．(

×

) m(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(

×

) n(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1nnnmn都不是指数函数．(

√

) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(

×

) (5)函数y＝2x在R上为单调减函数．(

√

) －题组二

教材改编

2．[P62练习T5]化简416x8y4(x＜0，y＜0)＝________. 答案

－2x2y

12，，则f(－1)＝________. 3．[P71习题T11]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P2答案

2 12解析

由题意知＝a2，所以a＝，

22所以f(x)＝2x2－，所以f(－1)＝1＝2. 2213334344．[P70练习T4]已知a＝5，b＝5，c＝2，则a，b，c的大小关系是________．

答案

c

3x解析

∵y＝5是减函数，

13

333430∴5>5>5，

即a>b>1，

3430又c＝2<2＝1，

∴c

易错自纠

33702－＋84×42－()3＝________. 5．计算：×263答案

2 2323＝2. 4422解析

原式＝×1＋×－336．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

答案

(－2，－1)∪(1，2) 解析

由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，

得－2＜a＜－1或1＜a＜2. a7．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

213答案

或

22a1解析

当0

22a3当a>1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．

2213综上所述，a＝或. 221311113112

题型一

指数幂的运算1－

124ab131．化简4·1

(a>0，b>0)＝________. －－0.11·a3·b328答案

52·a·b323323232解析

原式＝2×10·a·b8＋－＝213×101＝. 5

27－3＋0.0022－10(5－2)－1＋π0＝________. 2．计算：821167答案

－

913－2105＋2解析

原式＝－2＋5002－＋1，

5－25＋24167＝＋105－105－20＋1＝－. 99223a·a3．化简：2(a>0)＝________. a3－2b×52÷a34b3＋23ab＋a3a－8ab43133a·a答案

a2

解析

原式＝a[(a)(2b)](a)a(2b)(2b)132131313213133133a2b(aa)111

a(a2a3)513132132＝a(a2b)131313aa2b1313aa5616＝a2. 思维升华

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

题型二

指数函数的图象及应用

典例

(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是________．

答案

①

解析

f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①. (2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．(填序号) ①a<0，b<0，c<0；

③2a<2c；

－

②a<0，b≥0，c>0；

④2a＋2c<2.

答案

④

解析

作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知，

0＜f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1. ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，

∴f(c)＜1，∴0＜c＜1. ∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，

∴2a＋2c＜2. 思维升华

(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

跟踪训练

(1)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：

①0

答案

2 解析

如图，观察易知，a，b的关系为a

(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．

答案

1 解析

方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

题型三

指数函数的性质及应用

命题点1

指数函数单调性的应用

1719典例

(1) 已知f(x)＝2－2，a＝()4，b＝()5，则f(a)，f(b)的大小关系是________．

97x－x答案

f(b)＜f(a) 解析

易知f(x)＝2x－2x在R上为增函数，

－117199又a＝()4＝()4＞()5＝b. 977∴f(a)＞f(b)．

1x－7，x<0，(2)设函数f(x)＝2若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．

x，x≥0，答案

(－3,1) 1a解析

当a<0时，不等式f(a)<1可化为2－7<1，

1a1a<1－3，

即<8，即222∴a>－3.又a<0，∴－3

综上，a的取值范围为(－3,1)．

命题点2

与指数函数有关的复合函数的单调性

典例

(1)已知函数f(x)＝2范围是________．

答案

(－∞，4] |2x－m|

(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值

mm，＋∞上单调递增，在区间－∞，上单调解析

令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间22递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

x(2)函数f(x)＝()－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m21222x1的单调减区间为________________________．

答案

(－∞，1] 1u解析

设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝2在R上为减函数，

x所以函数f(x)＝()1222x1的单调减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的单调增区间为(－∞，1]，

所以f(x)的单调减区间为(－∞，1]．

(3)函数f(x)＝4x－2x答案

[0，＋∞) 解析

设t＝2x(t>0)，

则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，

令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，

所以函数f(x)＝4x－2x＋1＋1的单调增区间是________．

的单调增区间是[0，＋∞)．

命题点3

指数函数性质的综合应用

ax典例

已知函数f(x)＝()1324x3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

ax解

(1)当a＝－1时，f(x)＝()1324x3，

令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7. 1u则u＝－(x＋2)2＋7在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

1h(x)(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则y＝3，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

a＞0，因此必有12a－16解得a＝1，

4a＝－1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 思维升华

(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域，值域，单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

1x－，a≤x＜0，跟踪训练

(1)已知函数f(x)＝2的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是－x2＋2x，0≤x≤4________．

(2)(2017·无锡一中月考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x2|}，－

则f(x)的最小值为________．

答案

(1)[－3,0)

(2)e 解析

(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，

1a，－1，

当a≤x＜0时，f(x)∈－21－a，－1∴2[－8,1]，

1即－8≤－a＜－1，即－3≤a＜0，

2∴实数a的取值范围是[－3,0)．

xe，x≥1，|x||x－2|(2)f(x)＝max{e，e}＝|x－2|

e，x<1，

当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；

当x<1时，f(x)>e. 故f(x)的最小值为f(1)＝e.

指数函数底数的讨论

典例

已知函数ybax22x3－，0上有最大值3，(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间25最小值，

试求a，b的值．

2

错解展示：

现场纠错

解

令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

3－，0，∴t∈[－1,0]．

∵x∈2①若a>1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，

11x2＋2x，1b＋，b＋1，

∴a∈a，b＋a∈at15b＋a＝2，a＝2，依题意得解得

b＝2.b＋1＝3，

②若0

2111，，b＋ax＋2x∈b＋1，b＋，

∴at∈aa依题意得5b＋1＝，21b＋＝3，a

解得3b＝2.2a＝，3

23综上知，a＝2，b＝2或a＝，b＝. 32纠错心得

在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，要对底数分类讨论．

1．(2017·泰州中学质检)若指数函数f(x)＝(a2－3)x满足f(2)

答案

(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析

由题意知，指数函数f(x)为增函数，从而a2－3>1，即a2>4，得a<－2或a>2.

x2，x≤0，2．(2017·苏州十中月考)函数f(x)＝2的值域为________．

－x＋1，x>0

答案

(－∞，1] 解析

当x≤0时，f(x)＝2x∈(0,1]；

当x>0时，f(x)＝－x2＋1∈(－∞，1)，

因此f(x)的值域为(0,1]∪(－∞，1)＝(－∞，1]．

3．(2017·常州中学质检)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)2 015＝3x－1，则f2＝________. 答案

1－3 解析

∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的周期为2，

2 01513111 007＋＝f＝f－＝－f＝1－3. ∴f＝f222224．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．

1答案

或3 3解析

令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1 ＝(t＋1)2－2. 1当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈a，a，

1又函数y＝(t＋1)2－2在a，a上单调递增，

所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．

1a，，

当0

又函数y＝(t＋1)2－2在a121＋1－2＝14，解得a＝(负值舍去)．

则ymax＝a31综上知a＝3或a＝. 35．已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为________．

－答案

[1,9]

解析

由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，

因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，

f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.

1－6．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．

9答案

[2，＋∞) 11解析

由f(1)＝得a2＝，

991|2x－4|11所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝. 333由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．

1x17．若“m＞a”是“函数f(x)＝＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实33数a能取的最大整数为________．

答案

－1 222解析

f(0)＝m＋，∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－.∵“m＞a”33322是“m≥－”的必要不充分条件，∴a＜－，则实数a能取的最大整数为－1. 3321x＋48．不等式2－x＋2x>2的解集为________．

答案

(－1,4) 解析

原不等式等价为

>2又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，

即x2－3x－4<0，∴－10且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．

10，

答案

2解析

(数形结合法) 当0

－x－4，

1由图象可知0<2a<1，∴0

21同理，当a>1时，解得01矛盾．

210，. 综上，a的取值范围是2

10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

答案

(－1,2) 1x解析

原不等式变形为m2－m<2，

1x因为函数y＝2在(－∞，－1]上是减函数，

1x1－1所以2≥2＝2，

1x2当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m－m<2，解得－1

23－，

答案

343x解析

由题意，得x<0，所以0<2<1，

2＋3a23从而0<<1，解得－0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)求f(x)的表达式；

1x1x(2)若不等式a＋b－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

解

(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，

a＝6，b·所以3

b·a＝24.

所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3. 所以f(x)＝3·2x. 1x1x1x＋1x(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤2323在(－∞，1]上恒成立．

1x1x均为减函数，所以y＝1x＋1x也是减函数，所以当x＝1时，y又因为y＝与y＝23231x1x55－∞，5. ＝＋有最小值.所以m≤.即m的取值范围是62366

1113．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－x＋x，则此函数的值域为42________．

11－，

答案

441解析

设t＝x，当x≥0时，2x≥1，∴0

211t－2＋. g(t)＝－t2＋t＝－24110，. ∴0≤g(t)≤，故当x≥0时，f(x)∈44∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

1－，0. ∴当x≤0时，f(x)∈411－，. 故函数的值域为44fx，x≥0，114．已知函数f(x)＝2－x，函数g(x)＝

2f－x，x＜0，x

则函数g(x)的最小值是________．

答案

0 1解析

当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)21－＝f(－x)＝2x－－x为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0. 2

15．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. 1答案

41解析

由函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，得1－4m＞0，即m＜.当a＞1时，函数f(x)在[－411－1,2]上单调递增，最小值为a1＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，m＝，与m＜矛盾；当024＜a＜1时，函数f(x)在[－1,2]上单调递减，最小值为a2＝m，最大值为a1＝4，

－1111解得a＝，m＝，满足m＜，所以a＝. 416441λ16．已知函数f(x)＝x－x－1＋3(－1≤x≤2)．

423(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；

2(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．

1λ解

(1)f(x)＝x－x－1＋3 42

12x1x＋3(－1≤x≤2)．

＝－2λ·221x21≤t≤2. 设t＝，得g(t)＝t－2λt＋3243当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3 2331t－2＋≤t≤2. ＝2441373＝3. 所以g(t)max＝g＝，g(t)＝gmin41624373所以f(x)max＝，f(x)min＝，

164337故函数f(x)的值域为4，16. (2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3 1≤t≤2，

＝(t－λ)2＋3－λ2411λ49①当λ≤时，g(t)min＝g＝－＋，

44216λ49331令－＋＝1，得λ＝>，不符合，舍去；

216841②当<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，

41λ＝－2<，不符合，舍去；

令－λ2＋3＝1，得λ＝24③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，

3令－4λ＋7＝1，得λ＝<2，不符合，舍去．

2综上所述，实数λ的值为2.