小结教学创新设计

函数的基本性质小结

一、知识点

1.函数的单调性

性 质

增

函

数

减

函

数

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说单调性与单调区间

注意：在公共定义域内，

增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数—减函数=增函数 减函数—增函数=减函数

一个函数乘以一个正数单调性不变，乘以一个负数单调性相反。

这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间。

设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。

图 象

定 义

设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

2.函数的奇偶性

偶函数

性 质

图象关于y轴对称；

定义域关于原点对称。

图象关于原点对称；定义域关于原奇函数[来源:Zxxk.Com]定 义

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么函数f（x）就叫偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数f（x）

点对称；定义域中有零，则其图象必过原点，即f（0）=0。

就叫奇函数

注意：在公共定义域内，

奇函数X奇函数=偶函数 偶函数X偶函数=偶函数 奇函数X偶函数=奇函数

奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数 3.复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下：

（1）若函数f（x）、g（x）、f［g（x）］的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g（x），y=f（u）的奇偶性得到y=f［g（x）］的奇偶性的规律如下：

函数

奇偶性

奇函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

u=g（x）

y=f（u）

y=f［g（x）］

即当且仅当u=g（x）和y=f（u）都是奇函数时，复合函数y=f［g（x）］是奇函数。

（2）若函数u=g（x）在区间［a，b］上是单调函数，函数y=f（u）在［g（a），g（b）］或［g（b），g（a）］上也是单调函数，那么复合函数y=f［g（x）］在区间［a，b］上是单调函数，其单调性规律如下：

函数

[来源:Z_xx_k.Com]单调性

u=g（x）

增函数

增函数

减函数

减函数

y=f（u）

增函数

减函数

增函数

减函数

y=f［g（x）］

增函数

减函数

减函数

增函数

即当u=g（x），y=f（u）增减性相同时，y=f［g（x）］为增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］为减函数。（同增异减）

二、典型例题

例题1 已知f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。

思路导航：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明。

答案：f（x）在（－∞，0）上是增函数。证明如下：

设x1－x2>0，

∴f（－x1）

由于f（x）是偶函数，因此f（－x1）=f（x1），f（－x2）=f（x2）。

∴f（x1）

点评：利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题。

例题2 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（1－x），求当x≥0时，函数f（x）的解析式。

思路导航：将x＜0时f（x）的解析式转化到x＞0的区间上，这是解决本题的关键。

答案：由于f（x）是奇函数，当x＞0时，

f（x）=－f（-x）=－{（－x）［1－（－x）］}=x（1+x）；

当x=0时，f（0）=－f（0），即f（0）=0。

∴当x≥0时，f（x）=x（1+x）。

当x≥0时，f（x）=x（1+x）

点评：判断分段函数的奇偶性时，应对x在各个区间上分别讨论，由x的取值范围

确定相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有f（－x）=f（x）或f（－x）=－f（x），从而判定其奇偶性。

例题3

设f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增，且有f（2a+a+1）＜f（3a－2a+1），求a的取值范围。

思路导航：要求a的取值范围，就要列关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键。

22

答案：由f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增知f（x）在（0，+∞）上递减。

17122a2a1（2a)20,3a22a13(a)2048332a2a13a22a10a3

点评：该例题在求解过程中，要注意利用偶函数的对称性，一侧递增，一侧递减。

三、课堂练习

1. 下列命题中错误的是（ ）

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数

②奇函数的图象一定过原点

③偶函数的图象与y轴一定相交

④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数

A. ①②

B. ③④

C. ①④

D. ②③

752. 已知f（x）＝x＋ax＋bx－5，且f（－3）＝5，则f（3）＝（ ）

A. －15

B. 15 C. 10

D. －10 3. 已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）单调递增，则满足f（2x－1）

2324. 若f（x）＝ax＋bx＋c（a≠0）为偶函数，则g（x）＝ax＋bx＋cx的奇偶性为________。

25. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x＋x－2，求f（x），g（x）的表达式。

6. 函数f(x)axb12f()是定义在（－1，1）上的奇函数，且，求函数f（x）的解1x225析式。

27. 定义在（－1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f（1－a）＋f（1－a）<0，求实数a的取值范围。

练习题答案

1. D 2.解析：解法1：f（－3）＝（－3）＋a（－3）＋（－3）b－5＝－（3＋a·3＋3b－5）－10＝－f（3）－10＝5，

∴f（3）＝－15. 解法2：设g（x）＝x＋ax＋bx，则g（x）为奇函数，

∵f（－3）＝g（－3）－5＝－g（3）－5＝5，

∴g（3）＝－10，∴f（3）＝g（3）－5＝－15. 3. 75757512x

33234. 奇函数

解析：由f（x）＝ax＋bx＋c（a≠0）为偶函数得b＝0，因此g（x）＝ax＋cx，∴g（－x）＝－g（x），

∴g（x）是奇函数。

25. f（x）＝x－2，g（x）＝x. 2解析：f（－x）＋g（－x）＝x－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）2－g（x）＝x－x－2 又f（x）＋g（x）＝x＋x－2，两式联立得：

2f（x）＝x2－2，g（x）＝x。

6.f(x)x

21x解析：因为f（x）是奇函数且定义域为（－1，1），

所以f（0）＝0，即b＝0. 又f()122x，所以a＝1，所以f(x)

51x2227. {a|0

∵f（x）在（－1，1）上单调减，

11-a1211a11aa21解得：0a1a的取值范围是0a1