3.1.2 指数函数教案范文

指数函数（一）

教学目标：

使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

教学重点：

指数函数的概念、图象、性质

教学难点：

指数函数的图象、性质

教学过程：

教学目标

(一)教学知识点

1.指数函数. 2.指数函数的图象、性质. (二)能力训练要求

1.理解指数函数的概念. 2.掌握指数函数的图象、性质. 3.培养学生实际应用函数的能力. (三)德育渗透目标

1.认识事物之间的普遍联系与相互转化. 2.用联系的观点看问题. 3.了解数学知识在生产生活实际中的应用. ●教学重点

指数函数的图象、性质. ●教学难点

指数函数的图象性质与底数a的关系. ●教学方法

学导式

引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形. ●教具准备

幻灯片三张

第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A) 第二张：例1

(记作§2.6.1 B）

第三张：例2

(记作§2.6.1 C）

●教学过程

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Ⅰ.复习回顾

［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知

识都是为我们学习指数函数打基础. 现在大家来看下面的问题：

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是

y=2x

这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量. 下面，我们给出指数函数的定义. Ⅱ.讲授新课

1.指数函数定义

一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R. ［师］现在研究指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质，先来研究a＞1的情形. 例如，我们来画y=2x的图象

列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：

x y=2x x y=2x

…

…

0.5 1.4 －3 0.13 1 2 －2 0.25 1.5 2.8 －1.5 0.35 2 4 －1 0.5 3 8 －0.5 0.71 …

…

0 1

再来研究0＜a＜1的情况，

例如，我们来画y=2-x的图象.可得x,y的对应值，用描点法画出图象.也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x即y=(1x)的图象. 2我们观察y=2x以及y=2-x的图象特征，就可以得到y=ax(a＞1)以及y=ax(0＜a＜1)的图象和性质. 2.指数函数的图象和性质

图

象

a＞1 0＜a＜1

性

质

(1)定义域：R

(2)值域：(0，+∞)

- 2 -

(3)过点(0，1)，即x=0时，y=1

(4)在R上是增函数

(4)在R上是减函数

3.例题讲解

［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字). 分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求. 解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y. 经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；

经过2年，剩留量y=0.84×84%=0.842；

……

一般地，经过x年，剩留量y=0.84x

根据这个函数关系式可以列表如下：

x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 6 0.35 用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4. 答：约经过4年，剩留量是原来的一半. 评述：(1)指数函数图象的应用. (2)数形结合思想的体现. ［例2］说明函数y=2x+1与y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图. 分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题. 解：比较函数y=2x+1与y=2x的关系：

y=2-3+1与y=2-2相等，

y=2-2+1与y=2-1相等，

y=22+1与y=23相等，

……

由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象. 评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律. Ⅲ.课堂练习

1.课本P74练习1 在同一坐标系中，画出下列函数的图象：

(1)y＝3x；

（2）y＝（1x）. 3- 3 - 2.课本P73例2(2).

说明函数y＝2x2与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图. －解：比较y＝2x2与y＝2x的关系

－y＝2-12与y＝2-3相等，

y＝20-2与y＝2-2相等，

－y＝232与y＝21相等，

……

由此可以知道，将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x-2的图象. Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学***家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用. Ⅴ.课后作业

（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象：

(1)y=10x；

－(2)y=(1x). 10－2.作出函数y=2x1和y=2x+1的图象，并说明这两个函数图象与y=2x的图象关系. －答：如图所示，函数y＝2x1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向右平移两个单位得到. 函数y＝2x＋1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到

（二）1.预习内容：

课本P73例3 2.预习提纲：

(1)同底数幂如何比较大小? (2)不同底数幂能否直接比较大小? ●板书设计

§2.6.1

指数函数

1.指数函数定义：形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫指数函数

2.指数函数的图象性质

3.［例1］

［例2］

4.学生

练习

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Ⅰ.复习引入

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂

x 次后，得到的细胞个数

y

与

x 的函数关系是什么？

分裂次数：1，2，3，4，…，x

细胞个数：2，4，8，16，…，y

由上面的对应关系可知，函数关系是

y＝2x. 引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为

y＝0.85x.

在y＝2x, y＝0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. Ⅱ.讲授新课

1．指数函数的定义

函数y＝a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 探究1：为什么要规定a＞0,且a≠1呢？

①若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义.

11②若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义. 如y＝(-2)x，这时对于x＝

，x＝

，…42等等，在实数范围内函数值不存在. ③若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1。在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞). 探究2：函数

y＝2·3x是指数函数吗？

指数函数的解析式

y＝ax中，ax的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如

y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起-来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为

y＝(a1)x，其中

a-x＞0，且a-x≠1. 活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理

2．指数函数的图象

活动设计：学生分别取不同的a值，用计算器作出函数图像，观察、分析讨论函数性质，教师辅导、启发、整理

⑴作图：（以下几例由学生作出类似情况，然后展示）

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⑵描点法作函数草图

1在同一坐标系中分别作出函数

y＝2x，y＝(

)x，y＝10x的图象. 21⑴先分别列出

y＝2x，y＝(

)x，y＝10x中x、y的对应值表：

2x …

－3

－2

－1.5

－1

－0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …

0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …

y＝2x

…

0.13 0.25

x 1y＝(

)-x

2

x y＝10x

…

…

－1

0.1 …

－3

－2

－1.5

－1

－0.5 0 …

8 4 2.8 2 1.4 0.5 1 1.5 2 3 …

1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …

－0.5

－0.25 0.32 0.56 0 1 0.25 1.78 0.5 3.16 1 10 …

…

注意：

①用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；

②要画出渐近的“味道”

⑶观察、总结

a 图

像

定义域

A＞1

0＜a＜1

R R

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值

域

定

点

单调性

Ⅲ.例题分析

y＞0

x0时，y1

x0时，0y1过点(0，1) 单调递增

y＞0

x0时，0y1

x0时，y1过点(0，1) 单调递减

［例1］（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：

①1.72.5，1.73；

②0.8－0.1，0.8－0.2；

③1.70.3，0.93.1

活动设计：理解用函数单调性来比较大小，教师引导、整理

解：利用函数单调性

①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数

y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.5<3，所以，1.72.5<1.73；

②略

③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1.70>1；0.93.1<0.90<1；1.70.3>0.93.1

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. Ⅳ.课堂练习

⑴比较大小：－0.7－0.2

－1.7－0.3；（－2.5）

（－2.5）

2345⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：

22（

）m

＞（

）n，m

n；1.1m＜1.1n，m

n. 33⑶比较下列各组中数的大小：10，

0.4Ⅴ.课时小结

指数函数的定义；图象的作法；性质

Ⅵ.课后作业

课本P54

习题：1，2.

－2.5，

2－0.2，

2.51.6

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