复习参考题第二课时教案

1．指数和对数

(1)分数指数的定义：

a＝anmnmman(a＞0，m，n∈N，m≥2)，

1(a＞0，m，n∈N，m≥2)．

＝man(2)如同减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算一样，对数运算是指数运算的逆运算．

ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．

由此可得到对数恒等式：

alogaN＝N，b＝logaab. logbN(3)对数换底公式logaN＝(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0)的意义在于把各个不同底数logba的对数换成相同底数的对数，这样，一可以进行换算，二可以通过对数表求值．

(4)指数和对数的运算法则有：

am·an＝amn，logaM＋logaN＝loga(MN)，

＋(am)n＝amn，logaMn＝nlogaM，

M－am÷an＝amn，logaM－logaN＝loga. N(a∈R＋，m，n∈R)(M，N∈R＋，a＞0，a≠1)．

2．指数函数、对数函数和幂函数

(1)要熟记这三个函数在不同条件下的图象，并能熟练地由图象“读”出该函数的主要性质；

(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形．由图可“读”出指数函数和对数函数的主要性质：

指数函数

(1)定义域：R

(2)值域：R＋

(3)过点(0,1)

(4)a＞1时为增函数，

0＜a＜1时为减函数

对数函数

(1)定义域：R＋

(2)值域：R

(3)过点(1,0) (4)a＞1时为增函数，

0＜a＜1时为减函数

如果两个函数y＝f(x)和x＝g(x)描述的是同一个对应法则，则称这两个函数互为反函数．这时两者之间满足关系g(f(x))＝x和f(g(y))＝y，并且它们的图象关于直线y＝x成轴对称．函数f叫作g的反函数，g也叫作f的反函数．f的定义域是g的值域，f的值域是g的定义域，两者同为递增或递减．

由上面反函数的定义，我们知道，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和同底数的对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．这给研究对数函数的图象和性质带来了方便．

(3)幂函数y＝xn在第一象限内的图象由幂指数的不同取值可分为三种走势．

由下图，当n＞0时幂函数的主要性质是：

①恒过(0,0)，(1,1)两点；

②在区间[0，＋∞)上为增函数．

当n＜0时幂函数的主要性质有：

①恒过点(1,1)；

②在区间(0，＋∞)上为递减函数；

③图象走向和x轴、y轴正向无限接近．

3．函数与方程

(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相等实根；当Δ＜0时无实数根．

(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标．

(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值．

4．函数模型及其应用

(1)目前我们能建立的函数模型主要是一次函数，二次函数，幂函数，指数函数和对数函数的模型；

(2)建模的目的是：模拟实际问题和用模拟函数的性质去推测判断未进行测量或不便测量的数据，特别是实际问题的未来走势；

(3)建模的大致步骤是：了解和简化实际问题，建立实际问题的数学模型，分析所得数学模型，把模型所判断的结论和实际模型的表现加以比较，改进数学模型.

题型一

有关指数、对数的运算问题

指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．

指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．

a－8ab234313例1

(1)化简4b＋2ab＋a323÷1－23b3×ab；

a32(2)计算：2log32－log3＋log38－25log53. 9aa－8b132131313解

(1)原式＝2b＋2ab＋a132×a1313a－2b3aa－8b3333×ab＝×a×ab＝ab. 1a－8b13131311132(2)原式＝log34－log3＋log38－52log53

9

9＝log3(4××8)－52log53

32＝log39－9＝2－9＝－7. lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log2跟踪演练1

(1)求＋55＋164的值．

log54·log25(2)已知x＞1，且x＋x＝6，求x－x－131212. 3lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log2解

(1)＋55＋164

log54·log253lg 2＋3lg 5－lg 2－lg 5＝＋2＋(24)4

2log52·log25＝3－1＋2＋8＝11. 211－312(2)＝x＋x－2＝6－2＝4，

22x－x1212又x＞1，∴x－x∴x－x1212＞0，

＝2. 题型二

指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质

函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．

1x例2

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2.

(1)画出函数f(x)的图象；

(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

1x解

(1)先作出当x≥0时，f(x)＝2的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．

(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

跟踪演练2

(1)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 x3(2)函数y＝x的图象大致是(

) 3－1

答案

(1)C

(2)C 解析

(1)作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．

g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．

(2)由3x－1≠0得x≠0，

x3∴函数y＝x的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；

3－1－133当x＝－1时，y＝＝＞0，可排除选项B；

12－1364当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，

80但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C. 题型三

比较大小

比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：

(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；

(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；

(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．

10.23例3

设a＝log13，b＝3，c＝2，则(

) 21A．a＜b＜c

C．c＜a＜b

答案

A

B．c＜b＜a

D．b＜a＜c

10.23解析

a＝log13＜0,0＜b＝＜1，c＝2＞1，故有a＜b＜c. 321跟踪演练3

(1)下列不等式成立的是(

) A．log32＜log23＜log25

C．log23＜log32＜log25

B．log32＜log25＜log23 D．log23＜log25＜log32 1(2)已知0＜a＜1，x＝loga2＋loga3，y＝loga5，z＝loga21－loga3，则(

) 2A．x＞y＞z

C．y＞x＞z

答案

(1)A

(2)C 解析

(1)由于log31＜log32＜log33，

log22＜log23＜log25，

即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，

所以log32＜log23＜log25.故选A. (2)依题意，得x＝loga6，y＝loga5，

z＝loga7. 又0＜a＜1，5＜6＜7，

因此有loga5＞loga6＞loga7，即y＞x＞z.故选C. 题型四

函数的零点与方程的根的关系及应用

根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上看，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起重视．

例4

已知a是函数f(x)＝2-log1x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(

) 2x

B．z＞y＞x

D．z＞x＞y

A．f(x0)＝0

B．f(x0)＞0

C．f(x0)＜0

答案

C

D．f(x0)的符号不确定

解析

如下图所示，是y＝2x与y＝log1x的图象，显然两个图象的交点的横坐标为a，于是2在(0，a)区间上，y＝2x的图象在y＝log1x的图象的下方，从而2x0＜log1x0，即f(x0)＝2x022－log1x0＜0. 2

1x－2跟踪演练4

设函数y＝x3与y＝2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(

) A．(0,1)

C．(2,3)

答案

B 解析

建立函数g(x)＝x3－22x，计算判断g(0)、g(1)、g(2)、g(3)、g(4)的符号．设g(x)＝x3－

B．(1,2) D．(3,4) －22x，

－13则g(0)＝－4，g(1)＝－1，g(2)＝7，g(3)＝26，g(4)＝63，显然g(1)·g(2)＜0，于是函数g(x)24的零点，

1x－2即y＝x3与y＝2的图象的交点在(1,2)上．

题型五

分类讨论思想

本章常见分类讨论思想的应用如下表：

问题

比较af(x)与ag(x)的大小

讨论标准

a与1的大小关系

分类情况

(1)a＞1时，若f(x)＞g(x)，则af(x)＞ag(x)；(2)0＜a＜1时，若f(x)＞g(x)，则af(x)＜ag(x)

(1)a＞1时，f(x)＞g(x)；

(2)0＜a＜1时，f(x)＜g(x) (1)a＞1时，若x1＞x2，则logax1＞logax2；

(2)0＜a＜1时，若x1＞x2，则logax1＜logax2

(1)a＞1时，f(x)＞g(x)＞0；

(2)0＜a＜1时，0＜f(x)＜g(x) 解不等式a＞af(x)g(x)

a与1的大小关系

比较logax1与logax2的大小

a与1的大小关系

解不等式logaf(x)＞logag(x) a与1的大小关系

1例5

已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)2＝0，的解集．

解

∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

1又f2＝0，

1－＝0. ∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f211故若f(logax)＞0，则有logax＞或logax＜－. 2211①当a＞1时，由logax＞或logax＜－，

22得x＞a或0＜x＜a. a11②当0＜a＜1时，由logax＞或logax＜－，

22得0＜x＜a或x＞a. a综上可知，当a＞1时，f(logax)＞0的解集为0，a∪(a，＋∞)；当0＜a＜1时，f(logax)a＞0的解集为(0，a)∪a，＋∞. a2跟踪演练5

已知函数y＝ax－3x＋31在x∈[1,3]时有最小值，求a的值．

833x－2＋，

解

令t＝x2－3x＋3＝243当x∈[1,3]时，t∈4，3. 1①若a＞1，则ymin＝a＝，

81解得a＝，与a＞1矛盾．

161②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝，

81解得a＝，满足题意．

21综合①，②知，a＝. 2

1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿高中数学的整个过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热34

点问题．

2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．

3．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．

4．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．