3.4.1 函数与方程教案范文

函数与方程

一、教材结构与内容简析

函数与方程是中学数学的重要内容．本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．

二、教学目标

1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系. 2、理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．

3、培养学生自主发现、探究实践的能力．

4、在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值. 三、教学重点、难点

教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 教学难点：探究发现函数零点的存在性. 四、教法分析

采用

“启发—探究—讨论”式教学模式. 五、教学过程

（一）设问激疑，创设情景

问题1 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并说出方程的根和函数图象与x轴交点的坐标之间的关系．

一元二次方程

方程的根

二次函数

函数的图象

（简图）

图象与x轴交点的坐标

设计意图

有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．

从特殊到一般，培养学生的归纳能力．

x22x30

x2x10

x22x30

2yx22x3

yx22x1

yx22x3

问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般方程f（x）=0也成立吗？

结论：方程f（x）=0的根就是函数y=f（x）与x轴交点的横坐标，也就是函数 y=f（x）的零点.

（二）启发引导，形成概念

1．函数零点的概念：

对于函数yf(x)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)的零点．

课堂练习：求下列函数的零点

（1）f(x)x25x6； （2）f(x)2x1．

（3）f(x)lg(x1)

2．等价关系：方程f(x)0有实数根

设计意图

利用课堂练习，加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.

引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ,还可以得出零点和方程根的关系.

函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点．

（三）讨论探究，揭示定理

问题3：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点呢？

探究: 观察二次函数yx22x3的图象，如下图，

设计意图

通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导（让学生自己在草稿本上任意作图总结归纳）,引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.

我们发现函数yx22x3

在区间[2,1]上有零点, 计算f(2)和f(1)的乘积，

在区间[2,4]上也有零点, 计算f(2)和f(4)的乘积，

你能发现它们的乘积的符号有什么特点吗？

猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点．

（四）讨论辨析，形成概念

零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0的根．

（四）讨论辨析，形成概念

反馈练习：

函数f(x)3(x2)(x3)(x4)x必有一个零点

的区间是（ ）．

A．(-5, -4) B．(-4,3) C．(-1, 0) D．(0,2) 分析：判断是否满足f(a)f(b)<0．

（五）观察感知，例题学习

例2 求函数f(x)lnx2x6的零点个数．

解：用计算器作出x、f(x)的对应值表．

x f(x) 1

2

3

4

5

设计意图

引导学生思考如何应用勘根定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.

让学生体验数形结合的思想,总结出方程的根与函数图象、函数零点的关系. 设计意图

通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题．

引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的例题学习作好铺垫． 设计意图

引导学生理解函数零点存在定理(勘根定理),分析其中各条件的作用，并通过各类图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质

由表格可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，

说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x) 在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．

问题4：你能判断函数f(x)lnx2x6的单调性，

并给出相应的证明吗？

证明：课后完成．

问题5：我们还可以用其它的方法判断 y＝f(x)的零点个数吗? 分析:由lnx2x60得到

lnx2x6

令g(x)=lnx, h(x)=2x6

用数形结合可得: g(x)=lnx与 h(x)=2x6有且仅有一个交点

总结判定零点存在性的方法：（1）利用方程; （2）利用定理; （3）利用图象．

（六）知识应用，尝试练习

1．判断函数f(x)2x3x8的零点个数. 2、课后练习

设计意图

对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.

（七）反思小结，培养能力

问题6：

1．你能说说二次函数的零点与一元

二次方程的根的联系吗？

2．如果函数图象在区间[a,b]上是连

续不断的，那么在什么条件下，函数在(a,b)内有零点

内容小结：

1．函数零点的定义

2．等价关系

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

设计意图

通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.