阅读与思考 集合中元素的个数优秀教学设计

第一章

集合与函数概念

1．1

集

合

1．1.1

集合的含义与表示

第1课时

集合的含义

问题导航

(1)集合的含义是什么？其元素有哪些特征？怎样用这些特性解决问题？

(2)元素和集合之间有什么关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？

1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．

(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．

2元素与集合的关系

关系

语言描述

记法

读法

属于

a是集合A中的元素

a∈A a属于集合A

不属于

a不是集合A中的元素

a∉A a不属于集合A

3.常用的数集及其记法

常用的自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

数集

N

Z

Q

R

记法

N*或N＋

1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．(

) (2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．(

) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．若集合A中有两个元素x与x2，则x的值可以是(

) A．0 B．1 C．0或1

D．－1 答案：D 13．已知①5∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________．

3答案：3

4．设不等式3－2x＜0的解集为M，则0________M，2________M(填“∈”或“∉”) 答案：∉

∈

1．集合含义中的“研究对象”的理解

集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．

2．集合中元素的三个特性

(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．

(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．

(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．

3．对符号“∈”与“∉”的理解

(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．

(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．

集合的概念

判断下列各组对象能否组成一个集合：

(1)新华中学高一年级全体学生；

(2)我国的大河流；

(3)不大于3的所有自然数；

(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点．

[解]

(1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标准；(3)能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合．

方法归纳

判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．

1．(1)下列各组对象不能构成集合的是(

) A．中国农业银行滨州支行的所有员工

B．2016年里约热内卢奥运会所有的田径项目

C．好心的人

D．所有小于18的既是奇数又是质数的正实数

解析：选C.A、B、D中涉及的元素都是确定的，如D中满足条件的正实数只有3、5、7、11、13、17，故它们都能构成集合，而C中没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心的人”，所以不能组成集合．故选C.

(2)判断下列说法是否正确，并说明理由．

31①1，0.5，，组成的集合含有四个元素．

222②方程x＋2x＋1＝0的解集中有两个元素．

③组成单词china的字母组成一个集合．

1解：①不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能2作为一个元素，故这个集合含有三个元素．

②不正确．因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有一个元素－1.

③正确．因为组成单词china的字母是确定的．

元素与集合的关系

(1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(

)

A．0∈A

B．a∉A

C．a∈A

D．a＝A

(2)下列所给关系正确的个数是(

) ①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*

A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]

(1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．

[答案]

(1)C

(2)B 方法归纳

判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系．

2．(1)用符号“∈”或“∉”填空：

①3________N；②0.5________Z；③2________Q；

答案：①∈

②∉

③∉

(2)由x，－x，|x|所组成的集合中，最多含有的元素个数是(

) A．2 B．3 C．1 D．不确定

x，x≥0，解析：选A.∵|x|＝

－x，x＜0，∴x，－x，|x|最多有两个不同的值．

集合元素的特性

已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

[解]

因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.

若－3＝a－3，即a＝0.

此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0

或－1.

[互动探究]

若将本例条件“－3∈A”改为“a∈A”，其他条件不变，则a的值是什么？

解析：因为a∈A，所以，a＝a－3或a＝2a－1，

解得a＝1. 方法归纳

(1)由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．

(2)解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．

3．(1)由a，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(

) A．1 B．－2 C．6 D．2 2解析：选C.由题意知a≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.

(2)已知集合A中含有两个元素1，2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解的集合，且A＝B，则a＝________，b＝________．

解析：∵A＝B，∴集合B中只有两个元素1，2，即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个解．

1＋a＋b＝0，a＝－3，∴∴

4＋2a＋b＝0，b＝2.答案：－3

2 2易错警示

忽视集合中元素的互异性致误

已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为(

)

A．1 B．－1 C．1或－1 D．以上都不对

[解析]

若1∈A，则a＝1或a2＝1，

解得a＝1或－1.

(1)当a＝1时，集合A中元素为1和1，不满足集合元素的互异性，故a≠1.

(2)当a＝－1时，集合A中含有两个元素－1和1，符合集合元素的互异性．

综上所述，a＝－1.

[答案]

B [错因与防范]

(1)解答本题易忽视元素的互异性，求出a＝±1时，没有代入检验，从而得出错误结论；

(2)应用集合中元素的特性解题，既要明确元素的确定性，又要注意元素的互异性，求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．

4．已知集合A中含有三个元素1，0，x，若x3∈A，求实数x的值．

解：∵x3∈A，∴x3是集合A中的元素，又集合A中含有3个元素，故需分情况讨论：

①若x3＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合元素的互异性，舍去；

②若x3＝1，则x＝1.当x＝1时，此时集合A中有两个元素1，舍去；

③若x3＝x，则x＝0，x＝±1，当x＝0，x＝1时不符合元素的互异性，舍去．当x＝－1时，集合A中有三个元素1，0，－1符合题意．

综上所述，x＝－1为所求．

1．已知集合A中元素x满足－5≤x≤5，且x∈N，则必有(

) A．－1∈A

B．0∈A

C.3∈A

D．1∈A

解析：选D.x∈N*，且－5≤x≤5，所以x＝1，2.所以1∈A. 2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(

) A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合

B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合

C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集．

解析：选A.由于A中P、Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P、Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A. 3．(2015·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P，Q相等，则a＝________．

解析：由于P，Q相等，故a2＝2，从而a＝±2.

答案：±2 4．由a，－a，|a|，a2构成的集合中，最多含有________个元素．

解析：对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．

答案：2

*

[A.基础达标]

1．下列各组对象不能组成集合的是(

) A．中央电视台著名节目主持人

B．联合国常任理事国

C．上海市所有的中学生

D．中国古代四大发明

解析：选A.“著名”无明确标准，因而A组不成集合，对于B、C、D，对象都是确定的．

2．已知a∈N，b∈R，则下面一定正确的是(

)

A．a＋b∈N

B．a＋b∈Z

C．a＋b∈Q

D．a＋b∈R

解析：选D.取a＝1，b＝2，则选项A，B，C都不正确．

3．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(

) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：选B.若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.

4．下列四个说法正确的个数是(

) ①集合N中的最小数为1；

②若a∈N，则－a∉N；

③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；

④所有小的正数组成一个集合；

⑤π∈R；

⑥3∉Q；

⑦0∈N*；

⑧|－4|∉N*. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①错，因为N中最小数是0；②错，因为0∈N，而－0∈N；③错；当a＝1，b＝0时，a＋b＝1；④错；小的正数是不确定的；⑤正确，⑥正确，因为3属于无理数；⑦错，0∉N*；⑧错，|－4|＝4∈N*.

5．已知集合S中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

解析：选D.因为集合S中的任何两个元素均不相同，所以△ABC中任意两边均不相等，所以该三角形一定不是等腰三角形．

6．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．

解析：方程x2－2x－3＝0的两根分别是－1和3，由集合相等的概念知a＋b＝－1＋3＝2.

答案：2 7．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．

解析：∵x∈N，且2＜x＜a，∴结合数轴知a＝6.

答案：6 b8．若a，，1组成的集合与a2，a＋b，0组成的集合为同一个集合，则a2 015＋b2 015的a值为________．

ba＝0，解析：∵两集合为同一个集合，∴有

a2＝1，b＝0b＝0，∴，(舍)或

a＝1a＝－1，∴b＝0，a＝－1，∴a2 015＋b2 015＝－1.

答案：－1 9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．

解：∵a∈A且3a∈A，

a<6，∴解得a<2.又a∈N，

3a<6，∴a＝0或1. 1＋a110．数集A满足条件，若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．

31－a11＋31＋21解：∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A.

311－21－311－211－31∴＝－∈A，∴＝∈A.

2131＋31＋211故当∈A时，集合中的其他元素为2、－3、－.

32[B.能力提升]

1．(2015·福州高一检测)已知集合A中的元素满足ax2－bx＋1＝0，又集合A中只有唯一的一个元素1，则实数a＋b的值为________．

A．3 B．4 C．1或3 D．1 解析：选C.当a≠0时，由题意可知方程ax2－bx＋1＝0有两个相等的实数根，

－b1＋1＝－，a故解得：a＝1，b＝2，

11×1＝，a故a＋b＝3.

当a＝0时，b＝1，此时也满足条件，

所以a＋b＝1，故a＋b的值为1或3.

2．设集合A含有三个元素1，1＋a，1＋2a；集合B也含有三个元素1，b，b2，若A＝B，则b的值为(

) 1A．1 B．－

21C．1或－

D．－1 23a＝－，241＋a＝b，1＋a＝b，a＝0，解析：选B.因为A＝B，所以或解得或当b211＋2a＝b，1＋2a＝b.b＝1，b＝－.21＝1时，集合B中的元素都是1，这与集合元素的互异性相矛盾，故舍去；当b＝－时，满21足题意，所以b＝－.

2|a||b|3．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为ab________．

|a||b|解析：当a＞0，b＞0时，＋＝2；

ab|a||b|当a·b＜0时，＋＝0；

ab|a||b|当a＜0且b＜0时，＋＝－2.

ab所以集合中的元素为2，0，－2.即元素的个数为3.

答案：3 4．(2015·天津高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．

解析：因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，

所以y的值为0，1，

即集合A中的元素为0，1.

又t∈A，所以t＝0或1.

答案：0或1 5．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，

(1)求元素x应满足的条件；

(2)若－2∈A，求实数x. 解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2－2x≠x，x2－2x≠3，解得x≠－1，且x≠0，且x≠3.

(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.

由于方程x2－2x＋2＝0无解，所以x＝－2.

经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.



6．(选做题)(2015·郑州高一检测)已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)．

求证：(1)3∈A. (2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A. 证明：(1)因为3＝22－12，所以3∈A.

(2)不妨假设4k－2∈A，

则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立，

①当m，n同奇或同偶时，m－n，m＋n均为偶数，

所以(m－n)(m＋n)为4的倍数，与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n一奇，一偶时，m－n，m＋n均为奇数，所以(m－n)(m＋n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．

所以假设不成立，综上4k－2∉A.