阅读与思考 对数的发明教案公开课一等奖

教学目标

1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．

2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．

3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．

4．培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识．

重点难点

重点：(1)对数的概念；(2)对数式与指数式的相互转化．

难点：(1)对数概念的理解；(2)对数性质的理解．

教学过程

教学

环节

教学程序及设计

设计意图

创设情境，引入新课

引例(3分钟) 1．一尺之锤，日取其半，万世不竭．

(1)取5次，还有多长？

(2)取多少次，还有0.125尺？

分析：(1)为同学们熟悉的指数函数模型，易得125＝132，

(2)可设取x次，则有12x＝0.125，

抽象出：12x＝0.125⇒x ＝？

2．2002年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP是2002年的2倍？

分析：设经过x年，则有(1＋8%)x＝2，抽象出：(1＋8%)x＝2⇒x＝？

让学生根据题意，设未知数，列出方程．这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的学习兴趣，培养学生的探究意识．生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的．

讲授新课

一、对数的概念(3分钟)[

一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

注意：(1)底数的限制：a＞0且a≠1；

(2)对数的书写格式

正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备．同时注意对数的书写格式，避免因书写不规范而产生的错误．

二、对数式与指数式的互化：(5分钟)

幂底数←a→对数底数

指数←b→对数

幂←N→真数

思考：

(1)为什么对数的定义中要求底数a＞0且a≠1?

(2)是否是所有的实数都有对数呢？

负数和零没有对数

让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a，b和N位置的不同，及它们的含义．互化体现了等价转化这个重要的

数学思想.

三、两个重要对数(2分钟) (1)常用对数：以10为底的对数log10N，简记为lg N；

(2)自然对数：以无理数e＝2.718 28…为底的对数logeN，简记为lnN.(在科学技术中，常常使用以e为底的对数) 注意：两个重要对数的书写

这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式作准备．

课堂练习(7分钟) 1．将下列指数式写成对数式：

(1)24＝16；(2)3－3＝127；(3)5a＝20；(4)12b＝0.45. 2．将下列对数式写成指数式：

(1)log5125＝3；(2) ＝－2；(3)log10a＝－1.069. 3．求下列各式的值：

(1)log264；(2)log927. 本练习让学生独立阅读课本例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数概念的理解．并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质．

四、对数的性质(12分钟) 探究活动1 求下列各式的值：

(1)log31＝0；(2)lg 1＝0；

(3)log0.51＝0；(4)ln1＝0. 思考：你发现了什么？

“1”的对数等于零，即loga1＝0(a＞0且a≠1)，类比：a0＝1(a＞0且a≠1)．

探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论．通过练习与讨论的方式，让学生自己得出结论，从而能更好地理解和掌握对数的性质．培养学生类比、分析、归纳的能力.

探究活动2 求下列各式的值：

(1)log33＝1；(2)lg 10＝1；(3)log0.50.5＝1；(4)lne＝1. 思考：你发现了什么？

底数的对数等于“1”，即logaa＝1(a＞0且a≠1)，类比：a1＝a(a＞0且a≠1)．

探究活动3 求下列各式的值：

(1) ＝3；(2) ＝0.6；(3) ＝89. 思考：你发现了什么？

对数恒等式：

＝N(a＞0且a≠1)．

探究活动4 求下列各式的值：

(1)log334＝4；(2)log0.90.95＝5；(3)lne8＝8. 思考：你发现了什么？

对数恒等式：logaan＝n(a＞0且a≠1).

讲

授

新

课

小结

负数和零没有对数；

“1”的对数等于零，即loga1＝0；

底数的对数等于“1”，即logaa＝1；

对数恒等式：

＝N；

对数恒等式：logaan＝n.(a＞0且a≠1) 将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质．

归纳小结，强化思想

(3分钟) 1．引入对数的必要性——对数的概念

一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN. 2．指数与对数的关系

3．对数的基本性质

负数和零没有对数；loga1＝0；logaa＝1；

对数恒等式：

＝N；logaan＝n. 总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容．同时，将本节内容纳入已有的知识体系中，发挥承上启下的作用．为下一课时对数的运算打下扎实的基础．

作业

布置

一、课本习题2.2A组第1,2题．

二、已知loga2＝x，loga3＝y，求a3x＋2y的值．

三、求下列各式的值：

；

；

； . 作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足．

板书

设计

2 .2.1 对数与对数运算

第1课时

引例1 引例2 一、对数的定义

二、对数式与指数式的

互化练习

三、对数的基本性质

四、小结

五、作业布置

教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．

第2课时

作者：卢岩冰

整体设计

教学目标

1．知识与技能

(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、

化简，并掌握化简求值的技能．

(2)运用对数的运算性质解决有关问题．

(3)培养学生分析、解决问题的能力．

培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．

2．过程与方法

(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．

(2)让学生归纳整理本节所学的知识．

3．情感态度与价值观

让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．

重点难点

重点：对数运算的性质与对数知识的应用．

难点：正确使用对数的运算性质．

教学过程

导入新课

思路1．上节课我们学习了以下内容：

1．对数的定义．

2．指数式与对数式的互化．

ab＝N⇔logaN＝b. 3．重要性质：

(1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式

＝N. 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．

思路2.我们在学习指数的时候，知道

指数有相应的运算法则，即指数运算法则：

am•an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；man＝ .(a＞0且a≠1)

从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．

推进新课

新知探究

提出问题

(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？

(2)如我们知道am＝M，an＝N，am•an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？

(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？

(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述. (5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？

(6)上述结论能否推广呢？

(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？

讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．

(2)若am•an＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到M＝am⇔m＝logaM，N＝an⇔n＝logaN，MN＝am＋n⇔m＋n＝log aMN，logaMN＝logaM＋logaN. 因此m＋n可以用对数式表示．

(3)令M＝am，N＝an，则MN＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaMN.

又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN. 所以logaM－logaN＝m－n＝logaMN，即logaMN＝logaM－logaN. 设M＝am，则Mn＝(am)n＝amn.由对数的定义，

所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlo gaM，即logaMn＝nlogaM. 这样我们得到对数的三个运算性质：

如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有

loga(MN)＝logaM＋logaN；①

logaMN＝logaM－logaN；②

logaMn＝nlogaM(n∈R)．③

(4)以上三个性质可以归纳为：

性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；

性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；

性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．

(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0. (6)性质①可以推广到n个数的情形：

即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0)．

(7)纵观这三个性质我们知道，

性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．

性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．

性质③从左往右仍然是降级运算．

利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．

应用示例

例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：

(1)logaxyz；(2)logax2y3z. 活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．

利用对数的运算性质，把整体分解成部分．

对(1)logaxyz，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．

对(2)logax2y3z，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．

解：(1)logaxyz＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；

(2)logax2y3z＝loga(x2y)－loga3z ＝logax2＋logay－loga3z＝2logax＋12logay－13logaz. 点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．

变式训练

1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为(

) ①logax•logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；

③logaxy＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax•logay.

A．0

B．1

C．2

D．3

答案：A 2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正确的个数为(

) ①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga1x；

④logaxlogay＝logaxy；⑤nlogax＝1nlogax；⑥1nlogax＝loganx；

⑦logaxn＝nlogax；⑧logax－yx＋y＝－logax＋yx－y. A．3

B．4

C．5

D．6 答案：B 例2 求值：(1) ；(2)log3127. 解：(1)解法一：设

，则(3)x＝33＝(3)3，所以x＝3. 解法二： . (2)解法一：令x＝log3127，则3x＝127，即3x＝3－3，所以x＝－3. 解法二：log3127＝log33－3＝－3. 例3 计算：

(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg27＋lg 8－3lg10lg 1.2. 解：(1)解法一：lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 解法二：lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg732＋lg 7－lg 18＝lg14×7732×18＝lg 1＝0. (2)lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. (3)lg27＋lg 8－3lg10lg 1.2＝

＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. 点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数

的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．

例4 设x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．

活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先

化简再代入求值．

解法一：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝33－1333－13＝32＋3×13＋132＝919. 解法二：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝(2x－2－x)(22x＋1＋2－2x)2x－2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋132＝919.