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017-2018学年高中数学

第三章

函数的应用章末复习提升

新人教A版必修1

1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．

2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数的零点的存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)．

(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0. 4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．

5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

题型一

函数的零点与方程的根的关系及应用

根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y

＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．

例1 已知a是函数f(x)＝2－log1x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(

) 2xA．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0 C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定

答案

C 解析

如图所示，是y＝2与y＝log1x的图象，显然两个图象的交点的横坐标为a，于是在(0，2xa)区间上，y＝2x的图象在y＝log1x的图象的下方，从而2x0＜log1x0，即f(x0)＝2x0－log1x0222＜0.

1x－23跟踪演练1 设函数y＝x与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(

) 2A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案

B 解析

设g(x)＝x－21232－x，则g(0)＝－4，g(1)＝－1，

34g(2)＝7，g(3)＝26 ，g(4)＝63 ，

显然g(1)·g(2)＜0，于是函数g(x)的零点在(1,2)内，

1x－23即y＝x与y＝的图象的交点在(1,2)内．

2题型二

函数模型及应用

针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．

例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：

第t天

4

36

10

30

16

24

22 18 Q(万股)

(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；

(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；

(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？

解

(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线1方程为P＝t＋2；

5从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P＝－故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：

1t＋8，

10P＝1－t＋8，20＜t≤30，t∈N.10即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N. (3)由以上两问，可知

1t＋2，0≤t≤20，t∈N，5

(2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系，

1t＋2t＋400≤t≤20，t∈N5y＝－1t＋810t＋4020＜t≤30，t∈Nt－15－15＝110t－602＋125，0≤t≤20，t∈N，2－40，20＜t≤30，t∈N.

当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，

当20≤t≤30，y随t的增大而减小．

∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．

跟踪演练2 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．

甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．

乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明：

(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；

(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；

(3)哪一年的规模最大？说明理由．

解

(1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b，经过(1,1)和(6,2)．

可求得k＝0.2，b＝0.8. ∴y甲＝0.2(x＋4)．

故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．

同理可得y乙＝4(－x＋17)．

2故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．

(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．

(3)设第x年规模最大，

17即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋) 2＝－0.8x＋3.6x＋27.2的最大值．

当x＝－23.60.81＝2≈2时，

42y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大．

即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．

题型三

转化与化归思想

转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．

例3 已知关于x的方程ax－2(a＋1)x＋a－1＝0，试问当a为何值时，方程的两根都大于1. 解

设方程的两根为x1，x2，方程的两根都大于1，

则x1－1＞0，x2－1＞0，

故2x1－1x1－1x2－1x2－10，0

⇒x1x2x1＋x21＞0，x1＋x2＞2

12－a－a⇒2a＋1aa＋1＋1＞0，a＞2

2a＜0，⇒a＞0，

矛盾．

故不论a为何值，方程的两根不可能都大于1. 跟踪演练3 当a为何值时，函数y＝7x－(a＋13)x＋a－a－2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？

解

已知函数对应的方程为7x－(a＋13)x＋a－a－2＝0，

函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则：

222

f0f1f20，0，0，

a－a－2＞0，2即a－2a－8＜0，a2－3a＞0，2

a＜－1或a＞2，解得－2＜a＜4，a＜0或a＞3，

∴－2＜a＜－1或3＜a＜4.

1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点的存在定理，可用来求参数的取值范围．

2．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

3．函数建模的基本过程如图