阅读与思考 集合中元素的个数教学设计实例

集合元素的个数

一、教学要求：

1．集合的含义与表示

(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3.集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

二、教学重点

：集合元素个数的研究

三、教学难点：集合计算过程中集合元素个数研究及集合元素个数归纳的方法体验。

四、教学知识：

1．集合的基本概念

(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．

(2)集合中元素的三个特性：______，______，

_______. (3)集合常用的表示方法：________和________．

2．常用数集的符号

3.元素与集合、集合与集合之间的关系

结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个．

4．两个集合A与B之间的运算

5记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：

card(A∪B)＝____________________________；

card[∁U(A∪B)]＝________________________. 五、教学实例：

类型一

集合的概念：已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．

【评析】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．

练习：已知全集S＝{1，3，x3－x2－2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果∁SA＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，说明理由.

类型二

集合间的关系：已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}. (1)若B A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；

(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；

(3)若A B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围.

【评析】本例主要考查了集合间的关系，当B

A时，B可能为空集很容易被忽视，要注意这一“陷阱”.

练习：(1)已知集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}.若B

A，求m的取值范围.

(2)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(

) A．A

B

B．C

B

C．D

C

D．A

D

类型三

集合的运算

设集合M＝{y|y＝cos2x－sin2x，x∈R}，N＝x||x－1i|<2，i为虚数单位，x∈R，则M∩N为(

) A．(0，1)

B．(0，1]

C．[0，1)

D．[0，1]

【评析】某些基本概念(公式或性质)与集合运算的简单综合题是高考考查的热点题型．本题确定出集合的元素是关键，通过集合M考查三角函数的倍角公式和三角函数的性质；通过集合N考查复数的基本性质和模的定义以及简单不等式的解法．

练习：已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则

(∁UA)∩(∁UB)＝(

) A．{5，8}

B．{7，9}

C．{0，1，3}

D．{2，4，6}

类型四

Venn图及其应用

设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x P}，则M－(M－P)等于(

) A．P

B．M∩P C．M∪P

D．M

【评析】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．

练习：设全集U是实数集R，M＝{x|x>2}，N＝{x|1

)

A．{x|2

B．{x|x<3}

C．{x|1

D．{x|x≤2}

类型五

和集合有关的创新试题

设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：

①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S T C的任意集合T也是封闭集.

其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)

【评析】本题具有高等数学背景，这些新的定义是我们平时学习中很难碰到的．对此，我们可以利用特例和熟知的内容进行分析，看结果是否符合题意，从而得出正确的判断．总之，化陌生为熟悉，化非常规为常规是解决这类问题的基本方法．

练习：定义A B＝

z|z＝xy＋xy，x∈A，y∈B，设A＝{0，2}，B＝{1，2}，则A B中所有元素的和为(

) A．1

B．3

C ．9

D．18

六、课后小结：

1.解集合问题注意“三化”

(1)代表元素“意义化”：代表元素反映了集合中元素的特征.解题时要紧紧抓住代表元素及其属性，可通过列举元素，直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析.应做到“意义化”，即分清集合的类型(数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等). (2)元素组成“具体化”：有些集合中的元素所满足的条件是可以化简的，如果先化简再研究其关系，则可使问题变得简单明了，易于解决. (3)数形结合“直观化”：结合数轴、坐标系(包括函数图象、平面区域等)及韦恩(Venn)图可使问题直观化，更便于求解．

2.正难则反原则

对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题. 例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围. 这个问题的反面即是三个集合全为空集，

即1－4a＜0，1－4（2a－1）≤0，

58≤a＜3，a＞4a－9

从而所求a的取值范围为a|a＜58或a≥3. 3.两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同和混淆. 4.五个关系式A B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB ∁UA以及A∩(∁UB)＝Ø是两两等价的. 5.空集与全集是两个特殊的集合，应了解其含义，解题时要特别注意对含空集情况的分析.