习题1.2教学设计及教案分析

高一分段函数专题 姓名： 学号： 一、分段函数的含义：所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的表达式的函数。

对它应有以下两点基本认识：

(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

二、求分段函数的函数值（先判断，再代入）

x2(x0)例1：

f(x)2(x0)则f(4)= f(3)= ff3= 0(x0)

x21(x2)练1：

f(x)f(x2)(x2)则f(3)=

二、分段函数的方程（分段求解，再验根）

x2(x1)例2：

f(x)x2(1x2)，若f(x)3，求x的值. 2x8(x2)

练2：【2014·浙江改编】设函数f(x)x22x2,x0x2,x0，若f(a)2，则a

.



三、

分段函数的不等式（分段转化成不等式组，最后结果取并集）

1例3：已知函数f(x)2x1(x0)若f(x)1，求x的取值范围. (x1)2(x0)

练习3.（2009天津卷文）设函数f(x)x24x6,x0x6,x0则不等式f(x)f(1)的解集是（A.(3,1)(3,)

B.(3,1)(2,)

C.(1,1)(3,)

D.(,3)(1,3)

）

1

例4：画出函数f(x)|2x4|

的图像，并说出它的值域

变式1.右图中的图象所表示的函数的解析式为（

）

(A)y32|x1|

(0≤x≤2) (B) y3322|x1|

(0≤x≤2)

(C) y32|x1|

(0≤x≤2) (D) y1|x1|

(0≤x≤2)

变式2：画出函数f(x)|x1||x1|

（1）去掉绝对值符号，求函数f(x)的解析式（2）求函数f(x)图象和值域。

变式3．画出函数f(x)|x|(x2)的图象，并求出它的值域。

2

分段函数课后练习：

1.f(x)x21,x02x,x0，若f(x)10，则x________。

x12，x1，2.设f(x)1f1x21，x1，则f2= 3.设

f(x)21x， x≤1，2x2，x1，则fx1f(2)=

4. 函数yx|x|x的图象是（

）

yyyy111-1x-1x-11x-1xABCD

1x1 5.f(x)2(x0)若

f(a)a，求a的取值范围.

1x (x0) 6.已知f(x)1,x0,0,x0,则不等式xf(x)x2的解集是________________。

7.f(x)1(x0)若x(x2)f(x2)1(x0)5，求x的取值范围.

8. f(x)x2+bxc，

x0，2，x0，若f(4)f(0),f(2)2,求解f(x)x的x的值. 9.作函数f(x)2x2x(x0)x22x(x0)的图像，并求出它的值域。



10．已知函数f(x)x2x1，

（1）去掉绝对值符号，求函数f(x)的解析式（2）求函数f(x)图象和值域。

11. ※已知函数f(x)2x1,g(x)x1，

x0，2x，x0，，求f(g(x))和

g(f(x))的表达式



3

例4．如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为yf(x). D（1）

求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式. （2）

作出函数图象，并根据图象求函数yf(x)的最大值. ACB解：（1）.①当P在BC线段上移动时，移动的距离为x（x0,4），P点的位1置如图所示，所以ABP的面积为yf(x)4x2x. 2②当P在CD线段上移动时，移动的距离为x（x4,8），P点的位置如图所示，所以ABP的面积为yf(x)PDPCP1448. 2AB③当P在DA线段上移动时，移动的距离为x（x8,12），P点的位置如图所示，所以ABP的面积为yf(x)14(12x)2(12x)

22x(x0,4)综上：ABP的面积为yf(x)8(x4,8)

2(x12)(x8,12)（2）.由（1）所求的yf(x)的解析式，作出yf(x)的图象，由图8y象可知f(x)max8. 评：由于点P在运动的过程中所处的位置不同，ABP的面积也不同，所以ABP的面积yf(x)的解析式是一个分段函数。解决此类问题

40812x44

的重点是：为什么自变量x的不同取值，函数解析式也不同，如何分段，分段后如何求函数解析式。

二．

求分段函数的最值

例5．某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为：H(x)500x12x，其中2x是产品售出的数量，且0x500. （1）

若x为年产量，y表示利润，求yf(x)的解析式. （2）

当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值为多少？

解：（1）当0x500时，产品全部售出；利润函数yf(x)500x当12x(500025x). 2部；利润函数x500时，产品只能售出500yf(x)50050015002(500025x)=12000025x. 212(0x500)x475x5000所以利润函数f(x)2. 12000025x(x500)（2）当0x500时，

f(x)1(x475)2107812.5.故当x4750,500时，2f(x)max107812.5. 25x12000012500， 当x500时，f(x)120000即f(x)107500.故当年产量为475部时，工厂的年利润最大，最大值为107812.5. 评：（1）这是实际问题。应注意对关键词句的理解，如“市场对此产品的需求量为每年500部”，即当0x500时，产品全部售出；当x500时，产品只能售出500部，故利润函数是关于x的分段函数，应分段求解. （2）求有关分段函数求最值时，应先求出每一定义域对应的解析式的最大（小）值，然后加以比较，最大（小）的即为该分段函数的最大（小）值. 在学习过程中能准确认识分段函数，把握分段函数，对后继的学习会有很大的帮助.

一、课前自测：

1．画出函数f(x)|2x4|

的图像，并说出它的单调区间。

|x1| ,(x1)22.f(x)x , (1x2)，那么f(f(－2))=

；如果f(a)=3，那么实数a=

。

2x , ( x2)3.已知f(x)1,x0,则不等式xf(x)x2的解集是________________。

0,x0,5

2x1(x0)4.作函数f(x)2的图像，并求出它的值域。

(x0)x2x2x2,x026.【2014·浙江卷】设函数f(x)2，若f(f(a))2，则a

. x,x02

6