复习参考题获奖说课稿

第二讲：基本初等函数（Ⅰ）

知识点一、指数与指数幂的运算

要点一、整数指数幂的概念及运算性质

1．整数指数幂的概念

anaaanZ*n个aa01a0

1ann(a0,nZ*)a2．运算法则

（1）amanamn；

（2）amamn；

nam（3）namnmn，a0；

a（4）abambm. m要点二、根式的概念和运算法则

1．n次方根的定义：

若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为n00；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n00. *2．两个等式

（1）当n1且nN时，nnanna；

a,(n为奇数)（2）a

|a|(n为偶数)要点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误．

要点三、分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且ana

1nm为既约分数，分数指数幂可如下定义：

na(na)mnam

a-mnmn1mn

a要点四、有理数指数幂的运算

1

1．有理数指数幂的运算性质

a0，b0，,Q

(1)aaa; (2)(a)a; (3)(ab)ab;

当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如4(4)2(44)2；

2412(3)幂指数不能随便约分.如(4)(4). 2.指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算. 对点训练：

1.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：

y2（1）aa；（2）aa；（3）aa；（4）x2332x3y3y6．

3x

2.把下列根式用指数形式表示出来，并化简

（1）a2a；

3.把下列根式化成分数指数幂：

（1）682；（2）aa(a0)；（3）b33b2；（4）35x

3xx61x(x)522．

4.计算下列各式：

2

21272490.5211383033（1）()()(0.008)（2）(2)24(2)()()3

8925 4527

5.计算下列各式：

1(1)()8137()080.2542(323)6；

(2)6a8aba23ab4b23234313(123b3)a. a

6.计算下列各式：

12133263()()(1.03)0()

426632

1知识的二、指数函数及其性质

要点一、指数函数的概念：

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y23，y2，xx1xy3x1等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

xx0时，a恒等于0，①如果a0，则

xx0时,a无意义.11②如果a0，则对于一些函数，比如y(4)x，当x,x,时，在实数范围内函数值不存在．

24③如果a1，则y1x1是个常量，就没研究的必要了．

要点二、指数函数的图象及性质：

y=ax

0

a>1时图象

3

图象

①定义域R，值域

（0，+∞）

②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点

性质

③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数

④在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，ax>1 ⑤x<0时，00时，00时，ax>1 ⑥

既不是奇函数，也不是偶函数

要点诠释：

（1）当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论。

（2）当0a1时，x,y0；当a1时x,y0。

当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。

当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。

x（3）指数函数yax与y1a的图象关于y轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

（1）

①

yax ②ybx ③ycx ④ydx

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0,+∞)时，bxaxdxcx （底大幂大）

4

x∈(－∞,0)时，bxaxdxcx

（2）特殊函数

y2x,y3x,y(12)x,y(13)x的图像：

要点四、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断AAB1，或B1即可．

对点训练：

1.函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值．

2.指出下列函数哪些是指数函数？

（1）y4x；（2）yx4；（3）y4x；（4）y(4)x；

（5）y(2a1)x(a12且a1)；（6）y4x．

3.求下列函数的定义域、值域. 2x(1)y3x；xx2x11x1113x(2)y=4-2+1；(3)39；(4)ya(a为大于1的常数)

4.求下列函数的定义域：

5

(1)y2x2-1 (2)y33-x (3)y2x-1 (4)y1-ax(a0,a1)

x22x5.讨论函数f(x)13的单调性，并求其值域．

6.已知函数f(x)ax1（x≥0）的图象经过点(2,12)，其中a＞0，a≠1．

（1）求a的值；

（2）求函数f(x)ax1（x≥0）的值域．

7.求函数f(x)ax2-2x(其中a0，且a1)的单调区间.

8.已知函数f(x)ax, x2(3a)x2,x2为R上的增函数，则实数a取值的范围是 ．9.判断下列各数的大小关系：

2(1)1.8a与1.8a+1；(2)(3)3,34,(13)-2(3)22.5，(2.5)0， (12)2.5 (4)a2与a3(a0,a1)

10.下列判断正确的是（ ）

A．1.72.51.73

B．

0.820.83

C．22

D．

1.70.30.90.3

11111.利用函数的性质比较22，33，66

112.比较1.5-0.2， 1.30.7，

(23)3的大小.

6

13.(分类讨论指数函数的单调性)化简：a2aa

14.如果a2x1ax5（a0，且a1），求x的取值范围．

15.判断下列函数的奇偶性：f(x)(11)(x) ((x)为奇函数) x212432316.判断函数的奇偶性：f(x)

xx. x21212,3,，则图象C1、C2、C3、17.如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数ya的图象，而a,22xC4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

18.设f(x)|3x1|，c＜b＜a且f(c)f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是（ ）

A．3a3b B．3c3b C．3c3a2 D．3c3a2

知识点三、对数及对数运算

要点一、对数概念

1．对数的概念

如果abNa0，且a1，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

要点诠释：

对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a¹1， N>0， bR．

2．对数logaNa0，且a1具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即N0；

（2）1的对数为0，即loga10；

（3）底的对数等于1，即logaa1．

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN．以e（e是一个无理数，e2.7182）为底的对数叫做自然对数，

logeN简记作lnN．

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．

7

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．

要点二、对数的运算法则

已知logaM，logaNa0且a1，M、N0

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

logaMNlogaMlogaN

推广：logaN1N2NklogaN1logaN2logaNkN1、N2、、Nk0

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

MlogalogaMlogaN

N（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

logaMlogaM

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2（-3）与log2（-5）是不存在的．

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

loga（M±N）=logaM±logaN，

loga（M·N）=logaM·logaN，

MlogaMloga．

NlogaN要点三、对数公式

1．对数恒等式：

abNlogNaaN

logaNb2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: （1）logaMloganMn(nR)

令 logaM=b，

则有ab=M， （ab）n=Mn，即(an)bMn，

即bloganMn，即:logaMloganMn．

logcM(c0,c1)，令logaM=b，

则有ab=M，

则有

logcablogcM(c0,c1)

logcalogcMlogcM即blogcalogcM，

即b，即logaM(c0,c1)

logcalogca当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论: 1logab(a0,a1,b0,b1)．

logba（2）logaM

8

对点训练：

1.求下列各式中x的取值范围：

（1）log2(x5)；（2）log(x1)(x2)；（3）log(x1)(x1)2．

2.函数ylog2x1(x2)的定义域为 ．

3.将下列指数式与对数式互化：

（1）log2164；（2）log1273；（3）log3311（4）5125；（5）2；（6）9．

x3；233124.求下列各式中x的值：

1（1）log16x （2）logx86 （3）lg1000=x （4）-2lne2x

2

5.计算：log24;log28;log232并比较．

6.不用计算器计算：log327lg25lg47log72(9.8)0

7.求alogablogbclogcN的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0）

8.用logax,logay,logaz表示下列各式

x2yxyx35

(1)loga;(2)loga(xy);(3)loga

;(4)loga3zyzz

9.求值

（1）2log5253log2648log101 （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2

10.已知log189a,18b5，求log3645．

11.求值：（1）(log43log83)(log32log92)；（2）log89log2732；（3）9知识点四：对数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1log352．

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是0,，值域为R．

9

2．判断一个函数是对数函数是形如ylogax(a0,且a1)的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数；

（3）对数的真数仅有自变量x．

要点诠释：

（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像yloga(x1),y2logax,ylogax3等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象与性质

图象

a＞1 0＜a＜1

性质

定义域：（0，+∞）

值域：R

过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数

在（0，+∞）上是减函数

当0＜x＜1时，y＜当0＜x＜1时，y＞0，

0，

当x≥1时，y≤0 当x≥1时，y≥0

要点诠释：

关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响

1．底数制约着图象的升降．

如图

要点诠释：

由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0

10

对点训练：

1.下列函数中，哪些是对数函数？

（1）ylogax(a0,a1)；

（2）ylog2x2;

（3）y8log2(x1)；

（4）ylogx6(x0,x1)；

（5）ylog6x．

2.求下列函数的定义域：

(1)ylogax2； (2)yloga(4-x)(a0且a1). 33.求函数yx31log(x1)1的定义域. 124.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log33.6,log38.9；

(2)log0.21.9,log0.23.5；

(3)log25与log75；

(4) log35与log64．

(5)loga4.2,loga4.8（a0且a1）．

5.利用对数函数的性质比较30.2、log32、log54的大小．

6.设aloglog112，b13，c()0.3，则（ ）

323A．

a＜b＜c

B．

a＜c＜b

C．

b＜c＜a

D．

b＜a＜c

7.已知函数f(x)log2(x2ax3a)在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A．

（－∞，4）

B．

（－4，4] C．

（－∞，－4）∪[2，+∞）

D．

[－4，2）

8.求函数ylog22x4的值域和单调区间．

9.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)ln2-x2x; (2)f(x)lg(1x2-x).

11

10.若不等式2xlog1ax0，当x0,2时恒成立，求实数a的取值范围．

11.当x∈（1，2）时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围．

【巩固练习】

1.若x13，则16x9x2等于（ ）

A.3x1 B.13x C. (13x)2 D. 非以上答案

2．若实数a＞0，则下列等式成立的是（ ）

A．(2)24 B．2a311012a3 C．(2)1 D．(a4)4a

3.计算4212322的结果是（ ）

A.32 B.16 C. 64 D.128 4.化简1213212116121812141212，结果是（ ）

11A.11 B.12132 C.12132113221232 D.212

5.下列个函数中，是指数函数的是（ ）

A．y(3)x B．y3x C．

y3x1 D．

y3x

x6.若函数f(x)与g(x)12的图象关于y轴对称，则满足f(x)1的x的取值范围是（A．

R B．,0 C．

0, D．

1,

7.设y0.9，yy114280.48，3(2)1.5，则（ ）

A．y3y1y2 B．y2y1y3 C．y1y3y2 D．y1y2y3

8.函数f(x)a21x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）

12 ）

A．a1 B．a2 C．a2 D．1a2

9.下列说法中错误的是（ ）

A．零和负数没有对数

B．任何一个指数式都可化为对数式

C．以10为底的对数叫做常用对数

D．以e为底的对数叫做自然对数

10.有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（ ）

A．①③

B．②④

C．①②

D．③④

11.下列等式成立的有（ ）

①lg11002；②log33332；③2log255；④elne1；⑤3lg33；

A．①②

B．①②③

C．②③④

D．①②③④⑤

12.对数式loga2(5a)b中，实数a的取值范围是（ ）

A．,5 B．

2,5

C．2,33,5

D．2,

13.若log2a51，则a的取值范围是（ ）

A．0a25 B．a2223或a1 C．5a1 D．0a5或a1

14.函数y1lnx的定义域为（ ）

A．（0，e] B．（－∞，e] C．（0，10] D．（－∞，10] 15.函数f(x)log2(xx21)xR的图象关于（ ）

A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线yx对称

16.函数yx|x|log2|x|的大致图象是（ ）

17.化简b(2b1)(1b2)= . 18.计算：3212的结果是 ．

13

19.当x1,1时，f(x)3x2的值域为 ．

20.设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值是 ．

21.若log12x391，则x= ．

22.若loga2m,loga3n,a2mn ；

23.函数f(x)loga(2x1)2（a＞0且a≠1）必过定点 ．

24.已知logm7logn70，则m、n、0、1间的大小关系是 。

25.计算：

121121（1）11253343316； （2）123342240.027500.0016



26.比较下列各题中两个数的大小：

ab（1）30.8,30.7； （2）0.750.1,0.750.1； （3）已知4477，比较a,b的大小．

x22x527.已知函数y13，求其单调区间及值域．

1132428.设m(24)2(9.6)0(38)3(1.5)2；nlog2733lg25lg47log72．求m+n的值．

29.计算下列各式的值：

（1）(ln5)0(9)0.5(12)22log424

14

（2）log21lg3log32lg5．

30.设f（x）=ln（x+1）．

（1）求满足f（1－x）＞f（x―1）的x的取值的集合A；

（2）设集合B={x｜1―m＜x＜2m}，若BA，求实数m的取值范围．

31.设f(x)1x2lg1x1x

（1）判断f(x)的单调性，并给出证明；

（2）若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-1(x)=0有唯一解；

（3）解关于x的不等式f[x(x12)]12．

第二讲：基本初等函数（Ⅰ）答案

知识点一、指数与指数幂的运算对点训练

511351.【答案】

a2；a3；a4；y4

【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．

152211（1）a2aa2a2a212a2;（2）a33a2a3a3a33a3；

11313（3）aa(aa2)2(a2)2a4；（4）从里向外化为分数指数幂

1y2x362361232212123y3yx22xy=yxyx3xy(x)=yyx=yx(x2y)=yxy53x=y4

x132.【答案】（1）210a10；（2）x23．

73113.【答案】212；a4；b3；x35

1【解析】（1）682=6172326222713313212；（2）aaaa2a2(a2)2a4；

211（3）b33b2b3b3b3；（4）1=1111353x(5x2)29113x．324=x(x5)23xx539x5(x5)3x54.【答案】（1）139；（2）2

15

217184910003247【解析】（1）原式=()3()2()=25=2

25992798259313()321123133（2）原式=()24()1()31．

28322222125.【答案】 112；a．

【解析】(1)原式=8131(1)()31(2)2(2)(3)22a131313131341413612631442233112；

(2)原式a(a8b)(a)2ab(2b)1321313132aa111333133(a8b)133a. a2b(a)(2b)6.【答案】21+3156【解析】原式=16+6+5+26+44 6=21+156．

4知识点二、指数函数及其性质对点训练

1.【答案】2 【解析】由y(a23a3)ax是指数函数，

a23a31,a1或a2,可得解得，所以a2．

a0且a1,a0,且a1,2.【答案】（1）（5）（6）

1【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）y4x=，符合指数函数的定义，而（2）中4底数x不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数40，所以不是指数函数．

313.【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [,)；（3）, 0,；（4）(-∞，-1)∪[1，+42x∞) [1，a)∪(a，+∞) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1). (13x)11xx1∵

y，又∵ 3>0， 1+3>1，

13x13x∴

011110，

， ∴

13x13x∴

0111，

∴值域为(0，1). 13x

16

1313(2)定义域为R，y(2x)22x1(2x)2，∵ 2x>0， ∴

2x

即 x=-1时，y取最小值，242433同时y可以取一切大于的实数，∴

值域为[,). 44(3)要使函数有意义可得到不等式32x110，3，即32x12又函数y3x是增函数，所以2x12，9即x12，即12,，值域是0,. (4)∵

2xxx111x10 ∴

定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，

2x2x又∵

x1x1x11x10且x1x11，∴

ya11且yaa，

∴值域为[1，a)∪(a，+∞). 4.【答案】（1）R；（2）-，3；（3）0,+；（4）a>1时，-，0；0

【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即x3，即-，3．

(3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即0,+

(4) 为使得原函数有意义，需满足1ax0，即ax1，所以a>1时，-，0；0

解法一：∵函数f(x)的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，

1x222x2x122x1∴f(x2)3，f(x11)3，

1x222x2f(x)x22x122(x2x1)(x2x1)(x2x12)2f(x3111)1x122x133．

3（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．

(x2x1)(x2x12)又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知131．

又对于x∈R，f(x)0恒成立，∴f(x2)f(x1)．

∴函数f(x)在（－∞，1）上单调递增．

17

（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．

又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知

103(x2x1)(x2x12)1．∴f(x2)f(x1)．

∴函数f(x)在[1，+∞）上单调递减．

综上，函数f(x)在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．

11∵x―2x=(x―1)―1≥－1，01，03322x22x13．

31∴函数f(x)的值域为（0，3]．

6.【答案】（1）a1；（2）（0，2] 21【解析】（1）∵函数f(x)ax1（x≥0）的图象经过点(2,)，

2∴11a21，解得a，

221∴f(x)()x1(x0)．

211（2）由（1）知f(x)()x1(x0)，又∵01，

221∴f(x)()x1(x0)在[0，+∞）上为减函数，

21又∵f(x)()x1(x0)的定义域为[0，+∞），且f（0）=2，

21∴f(x)()x1(x0)的值域为（0，2]．

22)上为增函数，内函数u=x-2x在区间(，1)上为减函7.【解析】当a>1时，外层函数y=au在(，数，在区间1，+上为增函数，故函数f(x)ax-2x在区间(-，+上为增函1)上为减函数，在区间1，2数；

)上为减函数，内函数u=x2-2x在区间(，1)上为减函数，在区当0

2-2x1)上为增函数，在区间1,+上为减函数. 在区间(，

18

ax, x2【解析】由于函数f(x)为R上的增函数，

(3a)x2,x2a1可得

3a0，解得2≤a＜3，故答案为[2，3）．

a2(3a)229.【答案】（1）1.8<1.8（4）当a>1时，a【解析】

2aa+1 1121（2）()3<()-2<34

（3）()2.5<(2.5)0<22.5

2332a3，当0

(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，

又因为a1时，a10.【答案】D a3，当0

【解析】对于选项A：考察函数y1.7x性质知1.72.51.73，A不正确

对于选项B：考察函数y0.8x性质知0.820.83，B不正确

对于选项C：考察函数yx性质知22，C不正确

对于选项D：考察函数yx0.3性质知1.70.30.90.3，D正确

由上分析知，判断正确的是D．

故应选D．

【总结升华】本题的考点是指数函数单调性的应用，考查用函数的单调性比较大小，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用．

11.【答案】326

【解析】2=2(2)8

121312163613616

19

33(3)9 作出y8x,y9x,y6x的图象知 132612616y9y8y6 所以326

212.【答案】()31.50.21.30.7

31xxx131216【解析】先比较1.50.222322()0.2()5与()3的大小.由于底数(0，1)，

∴

y()x在R上是减33233111111222函数，∵

0，

∴

0()3()5()01，再考虑指数函数y=1.3x，

由于1.3>1，

所以353332y=1.3在R上为增函数1.3>1.3=1，

∴

()31.50.21.30.7. 3x0.70112a3a3,a113.【解析】a2aaaaaa1

2a3a3,0a1432323132231314.【答案】当0a1时，x6；当a1时，x6

【解析】（1）当0a1时，由于a2x1ax5，2x1x5，解得x6．

（2）当a1时，由于a2x1ax5，2x1x5，解得x6．

综上所述，x的取值范围是：当0a1时，x6；当a1时，x6．

15.【答案】偶函数

【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵(x)定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是(x)定义域除掉11112x12x1，则g(x)x0这个元素)，令g(x)x

21221212x22x12(2x1)1111111()g(x)

22x12x122x12∴ g(x)为奇函数，

又

∵(x)为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 16.【答案】偶函数

112x12x1)x()x()

【解析】定义域{x|xR且x≠0}，又f(x)x(xxx2212122122x1111111x(x)x(1x)x(x)f(x)，

∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 22121221217.【答案】12  3

22

20

18.【答案】D 3x1　　x0【解析】f(x)|31|=

x13　　x0x故可作出f(x)|3x1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立，则有c＜0且a＞0，故必有13c3a1，所以3c3a2．

故选D．

知识点三、对数及对数运算对点训练

1.【答案】（1）x5；（2）x1,且x2；（3）x1且x0,x1

【解析】（1）由题意x50，x5，即为所求．

x20,x2,（2）由题意即x1,且x2．

x10,且x11,x1,且x2,(x1)20,（3）由题意解得x1且x0,x1．

x10,且x11,12.【答案】x|x且x1

23.【解析】运用对数的定义进行互化．

1（1）2416；（2）27；（3）334.【答案】（1）33（4）log51253；（5）log2x；11；（6）log192．

231；（2）2；（3）3；（4）-4．

4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．

（1）x(16)12(4)212416612()241161；

412（2）x8，所以x(x)(8)(2)22；

（3）10x=1000=103，于是x=3；

xx2（4）由2lnex，得lne，即e2e2 所以x4．

2261365.【解析】log24log2222;log28log2233;log232log2255．

6.【答案】13

232【解析】原式log33lg(254)213313lg102323

222

21

7.【答案】N

【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．

alogablogbclogcN(alogab)logbclogcN(blogbc)logcNclogcNN．

8.【解析】（1）logxyazlogaxlogaylogaz；

（2）loga(x3y5)logax3log5ay3logax5logay；

（3）logxayzloglog1axa(yz)2logaxlogaylogaz；

（4）logx2ya3z=log(x2y)log3z2log11aaax2logay3logaz．

9.【答案】（1）22；（2）1；（3）2．

【解析】（1）2log5253log2648log101

2log5523log22680418022.

（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1 （3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2

=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．

10.【答案】ab2a

【解析】

解法一：log189a,18b5，log185b，

于是loglog1845log18(95)log189log185aba3645logb1836log18(182)1log1821log182a．

18911.【答案】（1）54；（2）109；（3）325．

【解析】（1）(log43log83)(log32log92)

(log23loglog23log)(loglog32log3log23log32535329)(223)(log322)6log232log324；2428log3（2）loglg9lg89log2732lg8322lg35lg210lg273lg23lg39；

1（3）92log3532(12log35)31log3253log3325325

22

知识点四、对数函数及其性质对点训练

1.【答案】（5）

【解析】（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．

（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．

（3）中真数为x1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．

（4）中底数是自变量x，二非常数，所以不是对数函数．

（5）中底数是6，真数为x，符合对数函数的定义，故是对数函数．

2.【答案】（1）{x|x0}；（2）{x|x4}．

【解析】由对数函数的定义知：x20，4x0，解出不等式就可求出定义域. (1)因为x20，即x0，所以函数ylogax2的定义域为{x|x0}；

(2)因为4x0，即x4，所以函数yloga(4-x)的定义域为{x|x4}. 333.【答案】(1，)(，2] 22x1x10【解析】因为log1(x1)0， 所以0x11，

23xlog(x1)112233所以函数的定义域为(1，)(，2]. 224.【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．

【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数ylog3x的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，log33.6log38.9；

解法2：由函数ylog3x在R上是单调增函数，且3.6<8.9，所以log33.6log38.9；

(2)与第(1)小题类似，ylog0.2x在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以log0.21.9log0.23.5；

(3)函数ylog2x和ylog7x的图象如图所示．当x1时，ylog2x的图象在+ylog7x的图象上方，这里x5，log25log75．

(4) log35log331log66log64,

log35log64

(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a1时，ylogax在(0，+∞)上是增函数，且4.2<4.8，所以，loga4.2loga4.8

当0a1时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，loga4.2loga4.8

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，

令b1loga4.2，则ab1=4.2，令b2loga4.8，则ab24.8，

当a1时，yax在R上是增函数，且4.2<4.8，

所以，b1

当时0a1，yax在R上是减函数，且4.2<4.8 所以，b1>b2，即loga4.2>loga4.8. 5.【答案】30.2log54log32

【解析】30.21，log321，log541，只需比较log32与log54的大小即可

log32log25log25log25

log951log32log5430.2log54log32

log54log23log242log23log29

23

6.【答案】D 【解析】∵alog120，blog130，log12log12log13,323221c()0.30．∴b＜a＜c．

3故选：D．

7.【答案】B 【解析】令t(x)x2ax3a，由题意知：t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0 a2又a∈R+解得：－4＜a≤4则实数a的取值范围是（－4，4]故选B．

2t(2)42a3a08.【答案】2,；减区间为,0，增区间为0,．

【解析】设tx24，则tx244，∵ y=log2t为增函数，log2tlog2(x24)log242

ylog2x24的值域为2,．

再由：ylog2(x24)的定义域为R

tx24在0,上是递增而在,0上递减，而ylog2t为增函数

∴

函数y=log2(x24)的减区间为,0，增区间为0,. 9.【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．

【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 2-x0可得-2x2

(1)由2x所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称

2x2x12x2-xln()-lnf(x),即f(x)f(x)所以函数f(x)ln又f(x)ln是奇函数；

2x2x2x2x10.【思路点拨】画出函数y2x的图象与函数ylogax的图象，然后借助图象去求借。

1【答案】222a1

11【解析】

要使不等式2xlogax0在x0,时恒成立，即函数ylogax的图在0,内恒在函数2211y2x图象的上方，而y2x图象过点,2．由右图可知，loga2，22显然这里0＜a＜1，∴函数ylogax递减．又logaa212logaa2，∴22211，即a22221．∴所求的a的取值范围为2a1．

11.【答案】1＜a≤2 【解析】设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x∈（1，2）时，不等式(x1)2logax恒成立，

24

只需f1(x)(x1)2在（1，2）上的图象在f2(x)logax的下方即可．当0＜a＜1时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的下方，

只需f1(2)f2(2)，

即(21)2loga2，loga21，∴1＜a≤2．

【巩固练习】

1. 【答案】B 【解析】因为x13，所以13x0，原式=|13x|=13x，故选B。

2．【答案】D 【解析】对于A，(2)214，故A错误，

对于B，2a32a3，故B错误，

对于C，(2)01，故C错误；

对于D，(a14)41a，故D正确，

故选D．

3.【答案】 A 【解析】22(21)232222223222532，故选A。

4. 【答案】A (12132)1213212116121812141212【解析】原式=

12132(12(2132)2)12116111 =128124122

12132(12116)12111116128124 =122

12132

25

11 =1232

215.【答案】D 【解析】根据指数函数的概念判断．

6.【答案】C 1【解析】因为函数f(x)与g(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)2x，f(x)1，即2x120，x2所以x0．故选C．

7.【答案】C 【解析】∵y40.921.8，y311280.48(2)0.4821.44，y3(2)1.521.5，

函数y2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，

∴21.821.521.44，故y1y3y2，

故选C．

8.【答案】D 【解析】因为函数f(x)是R上的减函数，所以0a211，所以1a22，即1|a|2．

9.【答案】B 【解析】由对数的概念知，指数式ax中，只有a0，且a1的指数式才可以化为对数式．

10.【答案】C 【解析】由logaa1,loga10知①②正确．

11.【答案】B 【解析】lg1100lg1022；

12.【答案】C 5a0,【解析】由对数的定义可知a20,所以2a5且a3，故选C．

a21,13.【答案】D

26

【解析】由loga221logaa，当a1时，ylogax为增函数，所以a，得a1；当0a1时，5522ylogax为减函数，所以a，得0a，故选D。

5514.【答案】A 分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．

【解析】∵函数y1lnx，

∴1－lnx≥0，

即lnx≤1；

解得0＜x≤e，

∴函数y的定义域为（0，e]．

故选：A．

点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出使解析式有意义的不等式的解集．

15.【答案】C 【解析】f(x)f(x)log2(xx21)log2(xx21)=log2(x21x2)log210，f(x)为奇函数，故其图象关于原点对称。

16.【答案】D

【解析】易知f(x)为奇函数，又x0时，f(x)log2x，所以选D。

17.【答案】b1. 【解析】原式=(b1)2b1(1b2)。

18.【答案】3 312()2【解析】原式(3)3．

3(3)13．

3故答案为：519.【答案】,1

3

27

15【解析】因为x1,1，则3x3，即3x21．

3320.【答案】-1 【解析】取特殊值法

因为函数f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)，即e1aeeae1，1aaee，1ae2e2a，1ae210，eee210，a10，a1．

21.【答案】-13 【解析】

由指数式与对数式互化，可得22.【答案】12 【解析】

a2loga2loga3aloga4aloga34312．

23.【答案】（0，2）

分析：根据函数ylogax

过定点（1，0），得函数f(x)loga(2x1)2（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．

【解析】由于函数ylogax过定点（1，0），

则在函数f(x)loga(2x1)2中，

令2x+1=1，可得x=0，此时f(x)loga(2x1)22，

故函数f(x)loga(2x1)2（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．

故答案为

（0，2）．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点．

24.【答案】0nm1

【解析】

logm7logn70，0log7mlog7n。又ylog7x在（0,1）内递增且函数值小于0，0nm1。

111132432225.【解析】（1）原式=53227352723626. 12x3，解得x13．

912713116（2）原式=( =)50()()410004100004107 =2012()22334122331250()41034419=

400101212=20

7

28

26.【解析】（1）（2）y3x是R上的增函数，0.70.8，30.730.8．

y0.75x是R上的减函数，0.10.1;0.750.10.750.1．

ab444（3）设函数y()x，它在实数集上是减函数，,ab．

7771Ux22x5，27.【解析】令y，则y是关于U的减函数，而U是,1上的减函数，1,U3x22x5上的增函数，∴y13在,1上是增函数，而在1,上是减函数，又∵x2Ux22x5(x1)244，

∴y12x5的值域为130,43．

28.【答案】174

1132【解析】∵m(24)2(9.6)0(38)3(1.5)2321441992，

4nlog273lg25lg47log7231511517341224，∴mn244．

29.分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出，

（2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可．

【答案】（1）32；（2）－1 【解析】（1）(ln5)0(934)0.5(12)22log421221232，

（2）log21lg3log32lg50lg3lg2lg3lg5lg2lg5lg101

30【答案】（1）{x｜0＜x＜1}；（2）m12

【解析】（1）∵f（x）=ln（x+1），x+1＞0，

1x1∴x＞－1；∴不等式f（1－x）＞f（x－1）等价于x11，

1xx1解得0＜x＜1，∴集合A={x｜0＜x＜1}；

（2）∵集合B={x｜1－m＜x＜2m}，且BA，∴当B=时，1－m≥2m，

29

1m2m1111解得m；当B时，即1m0，解得m；综上，实数m的取值范围是m

33222m11x0,31.【解析】（1）由1x

得-1

所以f(x)的定义域为(-1，1)．

x20设-1

lg(lg)lgx121x1x221x2(x12)(x22)(1x1)(1x2)又因为(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0，(1-x1)(1+x2)>0， (1x1)(1x2)(1x1)(1x2)x2x1(1+x1)(1-x2)>0，所以0，

1所以lg0，又易知(x12)(x22)(1x1)(1x2)(1x1)(1x2)∴ f(x1)-f(x2)>0 ，

即f(x1)>f(x2)． 故f(x)在(-1，1)上是减函数．

（2）因为f(0)1111lg1，所以f1()0，

即f-1(x)=0有一个根x．

222211，则f-1(x0)=0，即f(0)x0，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相22假设f-1(x)=0还有一个根x0矛盾．故x1是方程f-1(x)=0的唯一解．

2111，所以f[x(x)]f(0)．

又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以0x(x)1．

2223)因为f(0)1171117解得x(,0)(,)．

424

30