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§2.4二次函数与幂函数

A组

考点能力演练

1．当ab>0时，函数y＝ax2与f(x)＝ax＋b在同一坐标系中的图象可能是下列图象中的(

)

2．已知函数f(x)＝x2＋x＋c.若f(0)>0，f(p)<0，则必有(

) A．f(p＋1)>0 B．f(p＋1)<0 C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符号不能确定

3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(

) A．－1≤m≤2

C．m＝2

B．m＝1或m＝2 D．m＝1 25－，－4，4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为4则m的取值范围是(

) A．[0,4]

3C.2，＋∞

3B.2，4

3D.2，3

5．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么(

) A．f(－2)

8．已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则b－a的取值范围是________．

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9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．

(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；

(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．

B组

高考题型专练

1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(

)

2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(

)

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A．3.50分钟

C．4.00分钟

B．3.75分钟

D．4.25分钟

3．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(

) A．a2－2a－16

C．－16

B．a2＋2a－16 D．16 4．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．

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参考答案

A组

考点能力演练

1．D 【解析】因为ab>0，所以，当a<0，b<0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数f(x)＝ax＋b的图象在x，y轴上的截距均为负值，显然D项满足条件；而当a>0，b>0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数f(x)＝ax＋b的图象在x轴上的截距为负值，在y轴上的截距为正值，没有符合条件的选项，故选D. 2．A 1【解析】函数f(x)＝x2＋x＋c的图象的对称轴为直线x＝－，又∵f(0)>0，f(p)<0，

2∴－10，∴f(p＋1)>0. 3．B 【解析】由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1. 4．D 3325【解析】二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，

2243由图得m∈2，3.

5．D 1【解析】由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于直线x＝对称，又抛物线f(x)开口向上，∴2f(0)

6．4 【解析】利用偶函数性质求解．因为偶函数的图象关于y轴对称，

2－log2m所以－＝0，解得m＝4. 27．(3,5) 【解析】∵f(x)＝x12＝1(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)

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a＋1>0，∴10－2a>0，a＋1>10－2a，∴3

a>－1，解得a<5，a>3，

【解析】由题意知，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为函数f(x)在[a，b]上的值域为[－1,3]，所以当a＝－1时，1≤b≤3；当b＝3时，－1≤a≤1，所以b－a∈[2,4]．

9．

解：(1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a. 因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0. 所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2. 所以f(x)＝(x＋1)2. k－k－22(2)g(x)＝f(x)－kx＝x＋2x＋1－kx＝x－(k－2)x＋1＝x－＋1－42222. k－2k－2由g(x)的图象知：要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，∴所求实数k的22取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．

10．

解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，

∴f(x)在[1，a]上是减函数．

又定义域和值域均为[1，a]．

f∴f＝a，a1－2a＋5＝a，即2解得a＝2. 2a－2a＋5＝1，＝1，

(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，

∴a≥2.

又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，

∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2. ∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.

故实数a的取值范围是[2,3]．

B组

高考题型专练

1．D 【解析】函数y＝xa(x≥0)与y＝logax(x>0)，选项A中没有幂函数图象，不符合；对于选项B，y＝xa(x≥0)中a>1，y＝logax(x>0)中00)中a>1，不符合，对于选项D，y＝xa(x≥0)中00)中，0

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2．B 9a＋3b＋c＝0.7，【解析】由已知得16a＋4b＋c＝0.8，

25a＋5b＋c＝0.5，a＝－0.2，解得b＝1.5，c＝－2，

15113t－2＋，

∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－416515∴当t＝＝3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B. 43．C 【解析】f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图.

由图及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，

H2(x)的最大值为g(a－2)，A－B＝f(a＋2)－g(a－2) ＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16. 4．9 【解析】依题意有a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，则a＋b＝p，ab＝q，由p>0，q>0可知a>0，b>0.由题意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a，

将a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此时a＋b＝5，将b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此时a＋b＝5，则p＝5，故p＋q＝9.

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