阅读与思考 集合中元素的个数教学设计和教学实录

第2课时

基本不等式及其应用

a＋b考试要求

1.掌握基本不等式ab≤2(a，b≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.

知

识

梳

理

a＋b1.基本不等式：ab≤2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. a＋b(3)其中2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. a＋b(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤23.利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). s2(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大). [微点提醒] ba1.a＋b≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. a＋b2.11≤ab≤2≤a＋b2a2＋b22(a>0，b>0). 23.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 基

础

自

测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) a＋b(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与2≥ab成立的条件是相同的.(

) 1(2)函数y＝x＋x的最小值是2.(

) 4(3)函数f(x)＝sin x＋sin x的最小值为4.(

) xy(4)x＞0且y＞0是y＋x≥2的充要条件.(

) 解析

(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；

a＋b不等式2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0. 1(2)函数y＝x＋x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. 4(3)函数f(x)＝sin x＋sin x没有最小值. xy(4)x>0且y>0是y＋x≥2的充分不必要条件. 答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(

) A.9

B.18

C.36

D.81 x＋y解析

因为x＋y＝18，所以xy≤2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 答案

A 13.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋x(

) A.有最小值，且最小值为2

C.有最小值，且最小值为－2

解析

因为x<0，所以－x>0，－x＋1立，所以x＋x≤－2. 答案

D

x2－2x＋112，3上的最小值为4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝，则f(x)在x

B.有最大值，且最大值为2 D.有最大值，且最大值为－2 1≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成－x

(

) 1A.2

4B.3

C.－1

D.0 x2－2x＋111解析

f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝xxx，即x＝1时取等号. 11，3又1∈2，所以f(x)在2，3上的最小值为0. 答案

D 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大. 解析

设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，

11x＋2y225＝，

所以S＝xy＝2x·(2y)≤22215当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝2时取等号. 15答案

15

2

16.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋8b的最小值为________. a－3b11解析

由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋b≥22a·b＝2·28821111aa＝4，当且仅当2＝8b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2＋8b的最小值为4. 1答案

4

考点一

利用基本不等式求最值

角度1

利用配凑法求最值

3【例1－1】

(1)(2019·乐山一中月考)设0

解析

(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2223当且仅当2x＝3－2x，即x＝4时，等号成立.

22多维探究

3339∵4∈0，2，∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜2的最大值为2. 5(2)因为x<4，所以5－4x>0，

则f(x)＝4x－2＋11＝－5－4x＋5－4x＋3 4x－5≤－21（5－4x）·＋3＝－2＋3＝1. 5－4x1，即x＝1时，等号成立. 5－4x1故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 4x－59答案

(1)2

(2)1 当且仅当5－4x＝角度2

利用常数代换法求最值

【例1－2】

(2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A11在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则m＋n的最小值为________. 解析

∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，

∴A(1，1). 将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，

可得m＋n＝1，

1111nmnm∴m＋n＝m＋n·(m＋n)＝2＋m＋n≥2＋2m·n＝4，

nm1当且仅当m＝n且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝2时，取得等号. 答案

4 角度3

基本不等式积(ab)与和(a＋b)的转化

典例迁移

【例1－3】

(经典母题)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________. 解析

∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，

解得ab≥3，即ab≥9. 答案

[9，＋∞) 【迁移探究】

本例已知条件不变，求a＋b的最小值.

a＋b，

解

∵a>0，b>0，∴ab≤2a＋b，

即a＋b＋3≤2整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，

解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍). 故a＋b的最小值为6. 规律方法

在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：

(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 1【训练1】

(1)(2019·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最小值为(

) 11A.2

B.2

C.4

D.4

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________. 解析

(1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号). 又因为2a＋b＝4，

∴22ab≤4⇒0

1111∴ab≥2，故ab的最小值为2(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立). 1313133x12y(2)由x＋3y＝5xy可得5y＋5x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)5y＋5x＝5＋5y＋5x13123x12y1≥5＋5＝5(当且仅当5y＝5x，即x＝1，y＝2时，等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5. 答案

(1)B

(2)5 考点二

基本不等式在实际问题中的应用

【例2】

运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油x22＋360升，司机的工资是每小时14元. 

22

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 130解

(1)设所用时间为t＝x(h)，

x21301302＋y＝x×2×＋14×x，x∈[50，100]. 360130×182×130所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋360x，x∈[50，100] x2 34013(或y＝x＋18x，x∈[50，100]). 130×182×130(2)y＝＋x≥2610，

x360130×182×130当且仅当＝360x，

x即x＝1810时等号成立. 故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法

1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】

网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万2件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店t＋1每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，

则该公司最大月利润是________万元. 2解析

由题意知t＝－1(1

3－xtt11则y＝48＋2xx－32x－3－t＝16x－2－3＝16x－＋2－3 3－x1＝45.5－16（3－x）＋3－x≤45.5－216＝37.5，

11当且仅当x＝4时取等号，即最大月利润为37.5万元.

答案

37.5 考点三

基本不等式与其他知识的综合应用

【例3】

(1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列Sn＋10{an}的前n项和，则的最小值为________. an＋1(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________. 解析

(1)∵a3＝7，a9＝19，

∴d＝a9－a319－7＝6＝2，

9－3∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，

n（3＋2n＋1）∴Sn＝＝n(n＋2)，

29Sn＋10n（n＋2）＋101因此＝＝2（n＋1）＋n＋1

an＋12n＋21≥2×29（n＋1）·＝3，

n＋1Sn＋10的最小值为3. an＋1当且仅当n＝2时取等号.故(2)法一

依题意画出图形，如图所示.

易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，

111即2csin 60°＋2asin 60°＝2acsin 120°，

11∴a＋c＝ac，∴a＋c＝1，

c4a11∴4a＋c＝(4a＋c)a＋c＝5＋a＋c≥9，

c4a3当且仅当a＝c，即a＝2，c＝3时取“＝”.

法二

以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a，

ca33∴A，c，C，－a. 2222→∥DC→. ∵A，D，C三点共线，∴ADc3a3∴1－2－a＋2c2－1＝0，

211∴ac＝a＋c，∴a＋c＝1，

c4a11∴4a＋c＝(4a＋c)a＋c＝5＋a＋c≥9，

c4a3当且仅当a＝c，

即a＝2，c＝3时取“＝”.

答案

(1)3

(2)9 规律方法

基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：

1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点. 2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式. 3.检验等号是否成立，完成后续问题. 【训练3】

(1)(2019·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(

) A.(－∞，－1)

B.(－∞，22－1) D.(－22－1，22－1) C.(－1，22－1)

212(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2 018＝2，则a＋a的最小值为2 0172 019________.

2解析

(1)由f(x)>0得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋3x. 22又3x＋3x≥22(当且仅当3x＝3x，即x＝log3

2时，等号成立). 所以k＋1<22，即k<22－1. 12(2)∵{an}为等比数列，∴a2 017·a2 019＝a2 018＝2. ∴a12 017＋a22 019≥22a2 017·a2 019＝24＝4. 12当且仅当a＝a，即a2 019＝2a2 017时，取得等号. 2 0172 01912∴a＋a的最小值为4. 2 0172 019答案

(1)B

(2)4

[思维升华] 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公a2＋b2a＋ba＋b≤式的逆用等，例如：ab≤，ab≤22≤2等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. [易错防范] 1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. m2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋x(m>0)的单调性.

基础巩固题组

(建议用时：35分钟) 一、选择题

a2＋b21.(2019·孝感调研)“a>b>0”是“ab<2”的(

)

2a2＋b22(a>0，b>0)

A.充分不必要条件

C.充要条件

22B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

a2＋b2解析

由a>b>0，可知a＋b>2ab，充分性成立，由ab<2，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立. 答案

A 2.下列结论正确的是(

) 1A.当x>0且x≠1，lg x＋lg x≥2 B.1<1(x∈R) x2＋11≥2 x1D.当0

C.当x>0时，x＋解析

对于A，当0

对于B，当x＝0时，有1＝1，不等式不成立；

x2＋11≥2x1x·＝2，当且仅当x＝1时等号成立；

x对于C，当x>0时，x＋1对于D，当0

C 3.(2019·绵阳诊断)已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有(

) A.最小值20

C.最大值20

B.最小值200 D.最大值200 解析

由题意得2×2＝lg x＋lg y＝lg (xy)，所以xy＝10 000，则x＋y≥2xy＝200，当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以x＋y有最小值200. 答案

B 4.设a>0，若关于x的不等式x＋(

) A.16

B.9

C.4

D.2

a≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为x－1

解析

在(1，＋∞)上，x＋≥2（x－1）×aa＝(x－1)＋＋1 x－1x－1a＋1＝2a＋1(当且仅当x＝1＋a时取等号). （x－1）由题意知2a＋1≥5.所以a≥4. 答案

C 5.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为(

) A.2

B.22

C.4

D.42 解析

由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，

22|PA|＋|PB||PA|＋|PB|≤∴＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，

222∴|PA|＋|PB|≤22，∴|PA|＋|PB|的最大值为22. 答案

B 6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产xx件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(

) A.60件

B.80件

C.100件

D.120件

800x解析

设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是x元，仓储费用是8800x800x800x元，总的费用是x＋8元，由基本不等式得x＋8≥2x＋8＝20，当且仅800x当x＝8，即x＝80时取等号. 答案

B 127.若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为(

) A.2

B.2

C.22

222ab＝ab，

D.4 12解析

依题意知a>0，b>0，则a＋b≥212当且仅当a＝b，即b＝2a时，“＝”成立.

122215因为a＋b＝ab，所以ab≥，即ab≥22(当且仅当a＝24，b＝24时等号成ab立)，

所以ab的最小值为22. 答案

C 198.(2019·衡水中学质检)正数a，b满足a＋b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(

) A.[3，＋∞)

C.(－∞，6]

B.(－∞，3] D.[6，＋∞) 19解析

因为a>0，b>0，a＋b＝1，

b9a19所以a＋b＝(a＋b)a＋b＝10＋a＋b≥16，

b9a当且仅当a＝b，即a＝4，b＝12时取等号. 依题意，16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立. 又x2－4x－2＝(x－2)2－6，

所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6. 答案

D 二、填空题

x2＋29.函数y＝(x>1)的最小值为________. x－1x2＋2（x2－2x＋1）＋2x－2＋3解析

y＝＝

x－1x－1（x－1）2＋2（x－1）＋33＝＝(x－1)＋＋2≥23＋2. x－1x－1当且仅当x－1＝答案

23＋2 10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－

3，即x＝3＋1时，等号成立. x－1

25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. yy25解析

每台机器运转x年的年平均利润为x＝18－x＋x，而x>0，故x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元. 答案

8 11.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 11x＋3y，当且仅当x＝解析

因为x>0，y>0，所以9－(x＋3y)＝xy＝3x·(3y)≤3·23y，即x＝3，y＝1时等号成立.设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，

所以(t－6)(t＋18)≥0，又因为t>0，所以t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. 答案

6 12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝loga

x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中11mn>0，则m＋n的最小值为________. 解析

因为函数g(x)＝loga

x＋1(a>0且a≠1)的定点(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，

mn所以m＋n－2＝0，即2＋2＝1. 1111mnnm所以m＋n＝m＋n2＋2＝1＋2m＋2n

nm≥1＋22m·2n＝2，

nm当且仅当2m＝2n，即m2＝n2时取等号，

11所以m＋n的最小值为2. 答案

2 能力提升题组

(建议用时：15分钟) 13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，1b>0，则log1

a＋log3

b有(

) 32

1A.最大值log3

2

1C.最大值log1

2

3B.最小值log32 D.最小值0 解析

由m⊥n，得m·n＝0，即4(a－1)＋2b＝0，

1∴2a＋b＝2，∴2≥22ab，∴ab≤2(当且仅当2a＝b时，等号成立). 11又log1

a＋log3

b＝log1

a＋log1

b＝log1

(ab)≥log1

2＝log3 2，

333331故log1

a＋log3

b有最小值为log3 2. 3答案

B 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若a＋b4△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋c的最小值为(

) a＋bA.2

B.2＋2

C.4

D.2＋22 解析

因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，

1所以2(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，

a＋b2（a＋b＋c）a＋ba＋b42c所以＋c＝＋c＝2＋＋c≥2＋22，

a＋ba＋ba＋b当且仅当a＋b＝2c，即c＝22－2时，等号成立，

a＋b4所以＋c的最小值为2＋22. a＋b答案

D a4＋4b4＋115.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________. ab解析

∵a，b∈R，ab>0，

a4＋4b4＋14a2b2＋11∴≥＝4ab＋ababab≥214ab·ab＝4，

22a2＝2b2，a＝2，当且仅当时取得等号. 1即4ab＝ab，22b＝4答案

4 x2＋ax＋1116.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则ax＋1的取值范围是________. 解析

对任意x∈N*，f(x)≥3，

x2＋ax＋118即

≥3恒成立，即a≥－x＋x＋3. x＋188设g(x)＝x＋x，x∈N*，则g(x)＝x＋x≥42，

17当x＝22时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝3，

1788∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝3.∴－x＋x＋3≤－3，

88∴a≥－3，故a的取值范围是－3，＋∞. 8答案

－3，＋∞

新高考创新预测

1x17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，x＋y的最小值为________. 解析

∵正数x，y满足x＋y＝1，

∴y＝1－x，0

∴－y＝－1＋x，

∴x－y＝2x－1，又0

∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，

即x－y的取值范围为(－1，1). 1xx＋yxyxx＋y＝x＋y＝1＋x＋y≥1＋21x“＝”；∴x＋y的最小值为3. yx1x·y＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝2时取

答案

(－1，1)

3