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基本初等函数章末复习课

一、知识框架

二、重点题型

题型一

指数、对数的运算

1．

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

2．

对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．

例1

(1)化简a8ab4b2aba233234313(123b3)ab;

a32(2)计算：2log32－log3＋log38－25log53. 9a(a8b)3aa3b3a3b.

解

(1)原式＝a8b32

(2)原式＝log34－log3＋log38－52log53 994××8－5log59 ＝log332＝log39－9＝2－9＝－7. 43跟踪训练1

计算80.25×2＋(2×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．

答案

111 13111

解析

∵log32×log2(log327)＝log32×log23 ＝lg 2lg 3×＝1，

lg 3lg 231∴原式＝2×2＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 44题型二

数的大小比较

数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

例2

比较下列各组数的大小：

1－1.5(1)40.9,80.48，2；

(2)log20.4，log30.4，log40.4. 1－1.51.5解

(1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，＝2，

2∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，

1－1.50.48∴40.9>2>8. (2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，

∴log0.44

111所以<<，

log0.42log0.43log0.44即log20.4

比较下列各组数的大小：

(1)27,82；(2)log0.22，log0.049；(3)a1.2，a1.3；(4)0.213,0.233. 解

(1)∵82＝(23)2＝26，

由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27. lg 9lg 32(2)∵log0.049＝＝

lg 0.04lg 0.22

＝2lg 3lg 3＝＝log0.23. 2lg 0.2lg 0.2又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，

∴log0.22>log0.23，

即log0.22>log0.049. (3)因为函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，

而1.2<1.3，故当a>1时，

有a1.2

当0a1.3. (4)∵y＝x3在R上是增函数，

且0.21<0.23，∴0.213<0.233. 题型三

复合函数的单调性

1．一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上也是单调函数．

2．对于函数y＝f(t)，t＝g(x)．

若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域．

例3

已知a>0，且a≠1，试讨论函数f(x)＝a解

设u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，

则当x≤－3时，其为减函数，

当x>－3时，其为增函数，

又当a>1时，y＝au是增函数，

当0

所以当a>1时，原函数f(x)＝a函数．

当0

跟踪训练3

求下列函数的单调区间：

(1)y＝log0.2(9x－2×3x＋2)；

(2)y＝loga(a－ax)．

解

(1)令t＝3x，

u＝9x－2×3x＋2＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1≥1>0. 又y＝log0.2u在定义域内递减，

x26x17x26x17x26x17的单调性．

在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增在(－∞，－3]上是增函数，在(－3，＋∞)上是减函

∴当3x≥1(t≥1)，即x≥0时，u＝9x－2×3x＋2递增，

∴y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递减．

同理，当x≤0时，y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递增．

故函数y＝log0.2(9x－2×3x＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．

(2)①若a>1，则y＝logat递增，且t＝a－ax递减，而a－ax>0，即ax

∴y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上递减．

②若00，即ax1，

∴y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上递减．

综上所述，函数y＝loga(a－ax)在其定义域上递减．

题型四

幂、指数、对数函数的综合应用

指数函数与对数函数性质的对比：

指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．

(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．a变化时，函数的图象和性质也随之变化．

(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1,0)．

(3)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性．

(4)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称．

1＋2x＋a·4x例4

已知函数f(x)＝lg 在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

31＋2x＋a·4x解

因为f(x)＝lg 在(－∞，1]上有意义，

3所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立．

1x＋1x在(－∞，1]上恒成立．

因为4x>0，所以a>－421x＋1x，x∈(－∞，1]．

令g(x)＝－421x1x在(－∞，由y＝－与y＝－1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，

42113＋＝－. 所以g(x)max＝g(1)＝－4241x＋1x在(－∞，1]上恒成立，

因为a>－423所以a应大于g(x)的最大值，即a>－. 4

3－，＋∞. 故所求a的取值范围为4跟踪训练4

已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．

(1)判断函数的奇偶性；

(2)若f(x)＝lg g(x)，判断函数g(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明．

1＋x>0解

(1)由，

1－x>0

得－1

又f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)g(x)在(0,1)上单调递减．

证明如下：

∵f(x)＝lg(1－x2)＝lg g(x)，

∴g(x)＝1－x2，

任取0

2则g(x1)－g(x2)＝1－x21－(1－x2) ＝(x1＋x2)(x2－x1)，

∵0

∴x1＋x2>0，x2－x1>0，

∴g(x1)－g(x2)>0，

∴g(x)在(0,1)上单调递减．

三、课堂小结

1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．

2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．