习题3.1教学设计及教案分析

3.1.2 用二分法求方程的近似解

[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．

[知识链接] 现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？

[预习导引] 1．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2．二分法的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；

(2)求区间(a，b)的中点c；

(3)计算f(c)；

①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．

③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．

要点一

二分法概念的理解

例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(

)

答案

跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为(

)

(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是(

) ①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.

A．①② B．①③ C．①④ D．①②③

要点二

用二分法求方程的近似解

例2 用二分法求方程2x＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．

解

2．求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝f(x)－g(x)的近似解问题．

跟踪演练2 用二分法求2＋

x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：

x3x 2

x1.125

2.18

1.25

2.38

1.375

2.59

1.5

2.83

1.625

3.08

1.75

3.36

1.875 3.67

1．用二分法求函数f(x)＝x＋5的零点可以取的初始区间是(

) A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] 2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个3

零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当fA．(a，b)外的点

B．x＝a＋b＝0时，则函数f(x)的零点是(

) 2a＋b2

C．区间a，a＋ba＋b，b或22内的任意一个实数

D．x＝a或x＝b

3．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为(

) A．(1.25,1.5) B．(1,1.25) C．(1.5,2) D．不能确定

4．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(

) 11111A.， B.， C.，1 D．(1,2) 844225．用二分法求方程x－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．

1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：

(1)在区间[a，b]上连续不断；

(2)f(a)·f(b)＜0. 上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值. 3

一、基础达标

1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为(

)

A．4,4 B．3,4

C．5,4 D．4,3 2．为了求函数f(x)＝2－x的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：

x2x f(x)

0.6

1.16

1.0

1.00

1.4

0.68

1.8

0.24

2.2

－0.25

2.6

－0.70

3.0 －1.00 则函数f(x)的一个零点所在的区间是(

) A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0) 3．用二分法研究函数f(x)＝x＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为(

) A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125) 4．设方程2x＋2＝10的根为β则β属于(

) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案

C x31x5．函数y＝与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是(

) 2A．1.5 B．1.6 36．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则2下一个含根的区间是__________．

7．用二分法求函数f(x)＝3－x－4的一个零点，其参考数据如下：

xf(1.600 0)＝0.200

f(1.587 5)＝0.133

f(1.556 2)＝－0.029

f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003

f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，求f(x)＝3－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．

二、能力提升

8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(

) x

A．[1,4] B．[－2,1] 51C.－2， D.－，1

229．用二分法求方程x－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01? 答案

7 10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．

11．画出函数f(x)＝x－x－1的图象，并利用二分法说明方程x－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．

三、探究与创新

12．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．

13．用二分法求5的近似值(精确度0.1)．

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