复习参考题教学目标

2.3 幂函数（学案）

一、学习目标

1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点) 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1－2，y＝x1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点) 二、自主学习

教材整理1

幂函数的概念

阅读教材P77至倒数第二自然段，完成下列问题．

幂函数：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数

教材整理2

幂函数的图象与性质

阅读教材P77倒数第二自然段至P78“例1”以上部分，完成下列问题．

幂函数的图象与性质：

幂函数

y＝x

y＝x21

y＝x3

y＝x2

y＝x－1

图

象

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

(－∞，0)∪(0，＋∞)

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

(－∞，0)∪(0，＋∞)

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

x∈(0，＋∞)增

增

增

x∈(0，＋∞)减

x∈(－∞，0]减

x∈(－∞，0)减

公共点

(1,1)

三、合作探究

例1. (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 (2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2, 2)，则f(9)＝________. (3)幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm＋12m2在(0，＋∞)上是减函数，则m＝________. 【自主解答】

(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B. (2)由题意，令y＝f(x)＝xα，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝112，∴y＝f(x)＝x2，∴f(9)＝3.

1

m－2m－2＝1，1(3)∵f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，∴12∴m＝－1. 2m＋m<0，2【答案】

(1)B

(2)3

(3)－1 归纳总结：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即：

(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1. 1例2.

(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应2于C1，C2，C3，C4的n依次为(

) 2

1111A．－2，－，，2

B．2，，－，－2 22221111C．－，－2,2，

D．2，，－2，－

2222(2)已知幂函数y＝x3m9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，

－mm求满足(a＋3)－<(5－2a)－的a的取值范围．

55【自主解答】

(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度1越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝21－，曲线C4的n＝－2，故选B.

【答案】

B 2(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2. 1因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)－<(5－2a)511－.因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a

归纳总结：解决幂函数图象问题应把握的两个原则

1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x1或y＝x或y＝x3)来判断．

2

2 －1

例3. 比较下列各组中幂值的大小．

(1)33；(2)0.210.23；(3)22，1.83；(4)1.22，0.92，1.1. 【自主解答】

(1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. 11(3)∵函数y＝x2是增函数，且2＞1.8，∴22>1.82.又∵y＝1.8x是增函数，且>，

2311111110.8,0.73,3111－1∴1.82>1.83，∴22>1.83. 1010(4)0.92＝，1.1＝1.1.∵1.2>>1.1，且y＝x2在[0，＋∞)上单调递增，

2929－111110－∴1.22>>1.1，即1.2>0.92222>1.1. 911111归纳总结：比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用1中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例四、学以致用

11．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f2的值等于________.

中的1.82. 111【解析】

设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log3＝. 22231【答案】

31－2，－分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：

2．点(2，2)与点2(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

1【解】

设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1. 2∴f(x)＝x2，g(x)＝x1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，

－(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；

(3)当x∈(0,1)时，f(x)

3．比较下列各组数的大小.

3

5【解】

(1)因为函数y＝x－－5－52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以32>3.12.

五、自主小测

1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点4，12，则f(2)＝(

)

A.14

B．4

C.22

D.2 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(

) A．y＝x13

B．y＝x－12

C．y＝x53

D．y＝x23

3．设a∈－1，1，12，3，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(

) A．1,3

B．－1,1

C．－1,3

D．－1,1,3 14．函数y＝x3的图象是(

)

5．比较下列各组数的大小：

参考答案

1.【解析】

设幂函数为y＝xα.∵幂函数的图象经过点4，12，∴12＝4α，∴α＝－112，∴y＝x－2，

4

12∴f(2)＝2－＝，故选C. 22【答案】

C 2.【解析】

A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；

D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．

【答案】

D

3.【解析】

当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域11是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝322时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A. 【答案】

A

1114.【解析】

显然函数y＝x3是奇函数．同时当0＜x＜1时，x3＞x，当x＞1时，x3＜x. 【答案】

B

11在(0，＋∞)上为增函数，又>，则895.【解】

(1) ，函数y＝

从而

因为函数在(0，＋∞)上为减函数，

4π又>，所以66

5