复习参考题教学设计与反思

《函数应用题》教案

班级：高三（22）班

任课老师：谢慧娟

教学目标

1、让学生掌握几类函数模型（指数、对数、幂函数、分段函数）在社会生活中的应用. 2、让学生学会利用导数导数解决生活中的优化问题. 3、让学生学会解函数应用问题的步骤. (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，寻找数量关系；

(2)建模：利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：用数学问题解释并回答实际问题的意义．

教学难点与重点

1、如何弄清题意，建立数学模型.实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面. 2、求函数的解析式和最值时，一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．

3、灵活应用数学方法解数学模型. 教学过程

1、课程引入

常用的几类函数模型

(1)指数函数模型y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1) (2)对数函数模型y＝mlogax＋n(a＞0且a≠1，m≠0) (3)幂函数模型y＝axn＋b，(a≠0) 2、典例分析

（1）二次函数模型与yx模型

例1、（2012湛江质检）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费3x＋5ax用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

1

分析题意：C(0)＝8由此得出k的值；由隔热层建造费与20年的能源消耗费相加得f(x)的表达式；可用求导函数判断函数的单调性或基本不等式求f(x)的最小值．

方法小结：

（1）求函数的解析式和最值时，易忽略x的取值范围与等号成立的条件．（2）利用基本不等式求函数的最值，一定要注意等号成立的条件，如果等号不成立，可利用函数的单调性求解．(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．

对点练习：某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成1本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数，即R(Q)＝4Q－Q2，则总利润y的200最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)．

（2）指数函数与对数函数模型的应用 例2、某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．

(1)试确定k，b的值；

(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．

分析题意：建立关于k，b的方程，不难确定k、b的值；(2)依据市场平衡价格的意义，结合指数函数的单调性，确定关税税率t关于x的函数，利用导数求最值．

方法小结：(1)指数函数模型，常与增长率相结合，在实际问题中人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，先设定模型，将已知数据代入验证计算，确定参数．

对点练习：某市2012年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：21.05＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)(

)

2

A．2014年

C．2016年

B．2015年

D．2017年

（3）分段函数模型

例3(2011湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

分析题意：(1)当20≤x≤200时，运用待定系数法求v(x)的解析式，进而确定当0≤x≤200时，分段函数v(x)．(2)根据(1)求出f(x)，根据函数的单调性与基本不等式求最值．

方法小结：1．理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)，是求解本题的关键．要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值．

2．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．

对点练习：已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为110.8－x20＜x≤10，30R(x)万元，且R(x)＝

1081 000－2x＞10.x3x

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)

(4)利用导数解决实际生活中的优化问题

例4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）

3

与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式 ya10(x6)2x3

其中3

分析题意：(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得a的值.（2）利润为f(x)=(每件产品的售价-每件产品的成本×销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值.

方法小结：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答．

对点练习：在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是(

)

(A)

πR3

(B)

πR3

(C)

πR3 3

(D)

πR

3、课堂小结

（1）对函数实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．

（2）解函数应用问题的步骤(四步八字) 审题：弄清题意，分清条件和结论，寻找数量关系；

建模：利用数学知识，建立相应的数学模型；

求模：求解数学模型，得出数学结论；

还原：用数学问题解释并回答实际问题的意义．

4