探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教案设计

§1．12互为反函数的函数图象间的关系

教学设计

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1．互为反函数的两个函数图象间的关系．

2．证明两个函数图象关于已知直线对称的方法．

3．加深理解函数和反函数的概念．

(二)能力训练点

1．掌握互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的关系．

2．学会证明两个函数图象关于已知直线对称的方法．

3．通过定理的教学，培养学生观察比较、归纳猜想、数形结合等能力．

(三)德育渗透点

1．渗透“由特殊到一般”的辩证思想．

2．培养学生化归的思想方法．

3．培养学生勇于探索、大胆猜想、严谨论证的良好思维习惯．

二、教学的重点、难点、疑点及解决办法

1．教学的重点与难点：定理的证明和应用．

2．教学的疑点：如何将两函数图象的对称性转化为平面上点的对称性问题．

3．解决办法：①从具体实例入手．

②从点的对称性着眼．

③利用数形结合方法．

三、课时安排

本课题安排1课时．

四、教学过程设计

首先复习有关反函数的问题．

师：(1)互为反函数的两个函数的定义域与值域有什么关系？

生：函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域．

师：(2)已知函数y=f(x)存在反函数，如何求它的反函数？

生：求反函数的步骤是由y=f(x)解出x=f-1(y)，然后x、y互换，得到反函数y=f-1(x)．

师：很好，请大家根据反函数的有关知识，求下列各函数的反函数，并在同一个直角坐标系中，分别作出互为反函数的两个函数的图象．

例1

(1)y=2x-1(x∈R)；

(2)y=x3(x∈R)；

(3)y=x2(x≤0)．

(请三位学生在黑板上画出各题的示意图1－46，1－47，1－48．) 师：请大家仔细观察上述图象，并考虑问题：互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系．

(让学生交流讨论，教师也可作适当的提示．) 生：它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称图形．

师：即互为反函数的两个函数图象是关于直线y=x对称．

我们通过直观观察，判断得到两个互为反函数的图象关系，那么我们能否用数学方法加以严格证明呢？

首先要明确什么叫做两个图形关于直线y=x对称呢？

(让学生讨论、交流，教师加以归纳概括．)

师：函数的图象可以看作是平面上的点集，所以研究图象的对称性就是研究平面上点的对称性．这样我们的问题就转化为如何证明点关于直线y=x对称呢？

生：根据平面几何知识，如果两点M、M'关于直线l对称，那么l是线段MM'的中垂线，也就是说，如果直线l上的任意一点1°都有PM=PM'成立，那么点M和M'就关于直线l对称．

师：这位同学从平几角度说明了点关于直线对称的含义，关键是要求直线l上的任意一点都有PM＝PM'．如果把这种关系转化为代数形式，问题就明朗多了．

即在直角坐标系中，平面上的点可以用它的坐标表示，如果要证明两点M(a，b)，M'(b，a)关于直线y=x对称，那么就意味着要证明什么呢？

生：在直线y=x任取一点P(c、c)．

师：为什么可以取P(c、c)？

生：因为直线y=x上的横坐标与纵坐标相等，这时连结PM、PM‘

因此点M，M'关于直线y=x对称．

师：思路正确，美中不足的是考虑还不够周到．上述证明主要考虑了a≠b时的情况，对于a=b应作补充说明，即当a=b时，点M与M'是直线y=x上的同一点，根据对称轴上的点与自身对称得M、M'关于直线y=x对称．

下面来看M(a、b)、M'(b、a)之间还有什么关系．

生：若M(a、b)在f(x)上，则M'(b、a)在f-1(x)上．

师：能否从反函数的定义出发说明这种关系．

生：若点M(a、b)在y=f(x)的图象上，则b=f(a)，由反函数定义知a=f-1(b)，故点M'(b、a)在y=f-1(x)图象上．

师：有了上面的准备，我们可以给出定理：“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象

关于直线y=x对称”的证明(带领学生阅读课本或用幻灯演示)．

证明：设M(a、b)是y=f(x)的图象上的任意一点，那么x=a时，f(x)有唯一的值f(a)=b，∵y=f(x)有反函数y=f-1(x)，∴x=b时，f-1(x)有唯一的值f-1(b)＝a，即点M'(b，a)在反函数y=f-1(x)的图象上．

如果a=b，那么M(a，b)，M'(b，a)是直线y=x上的同一个点，因此它们关于直线y=x对称．

现设a≠b，如图1－49，在直线y=x上任取一个点，P(c，c)，

由此可知，直线y=x上任意一点到两个定点M、M'的距离相等，因此直线y=x是线段MM'的垂直平分线，从而点M、M'关于直线y=x对称．

因为点M是y=f(x)的图象上的任意一点，所以y=f(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数y=f-1(x)的图象上，由f(x)与f-1(x)互为反函数可知，函数y=f-1(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数y=f(x)的图象上，这就是说，y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称．

这个定理的证明要抓住三个问题：

(1)若点M(a、b)在y=f(x)上，则M'(b、a)在y=f-1(x)上．

(2)M、M'关于y=x对称．

(3诺M'在y=f-1(x)上，则M也在y=f(x)上．

函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于y=x的对称性直观反映了互为反函数的两函数的内在联系，为进一步研究函数和反函数的图象和性质提供了有力的工具，下面我们运用这种工具解决一些问题．

例2

画出函数y=x，x∈[0，＋10]的图象，再利用对称关系画出它的反函数的图象．

(让一学生在黑板上板演，其余学生在练习本上画．) 方法1，描点法．

方法2，运用互为反函数的图象关系作图1－50．

例3

点(1，2)既在y=ax+b的图象上，又在它的反函数图象上，求实数a、b．

(由学生讨论、回答，教师板书．) 法1：∵y=ax+b的反函数存在，

∴a≠0(这一点容易忽视)．

法2：依题意知点(1，2)和(2，1)都在y=ax+b的图象上．

从这两种解法可以看出解法2利用对称性，避免了求反函数

总结：这一节课主要研究了互为反函数的两个函数之间的关系，即它们是关于直线y=x对称的，这种关系直观地反映了互为反函数的两个函数的性质内在联系，为我们提供了根据函数y=f(x)的图象、性质来研究函数y=f-1(x)的图象、性质的方便．

五、作业

代数(上)P．65中练习2、3；P．66中7．

补充：已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程为ax+by+c=0(ab＞0)，求l2的方程．

六、板书设计

七、参考书目

《高中代数教学参考书》(上) 《高中数学教案》