复习参考题优质公开课教案

高一选修课：数学竞赛专题训练之函数1

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一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1．设a,b为不相等的实数,若函数f(x)x2axb满足f(a)f(b),则f(2)= .

x22lg2xxlgx1(x0)的最小值是 . 2．函数f(x)8

3．函数f(x)

4.已知函数fx2为奇函数，且满足f6xfx，f(3)2，则f2010f2009

的值为 .

1 x5243x的值域是 .

5．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，且在区间0，1上单调递减。若f()1，1x2的解集为 . f(2)2，则不等式组1f(x)2

6．已知关于x的不等式(x1)2ax2有且仅有三个整数解，则a的取值范围为 .

7．函数f(x)2x43x21x42x2的最小值为 .

8．设函数f(x)12x，若函数g(x)的图象与yf1x1(x1)的图象关于直线y=x对称，那么g(2)的值等于 .

2

二、解答题：（本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤）. 9．（本题满分16分）已知函数yf(x)x2bxc的图象过点（1，13），且函数1yf(x)是偶函数. 2（1求f(x)的解析式；

（2）函数yf(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

10．（本题满分20分）已知函数f(x)a(k1)a奇函数. （1）求k的值；

（2）若f(1)求m的值．

xx(a0且a1)是定义域为R上的32x2x，且g(x)aa2mf(x)在[1,)上的最小值为2，

23

11．（本题满分20分）设二次函数f(x)ax2bxc（a,b,cR,a0）满足条件：

①当xR时，f(x1)f(3x)；

②不等式4x1f(x)2x21对一切实数x都成立． （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若关于x的方程fxfmxn0恰有四个不同的实根，且四个实根之和为2，求实数n的范围．

4

高一选修课：数学竞赛专题训练之函数1 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1．设a,b为不相等的实数,若函数f(x)x2axb满足f(a)f(b),则f(2)= . 【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得所以f(2)42ab4

aba，即2ab0，22x22lg2xxlgx1(x0)的最小值是 . 2．函数f(x)8x212lg2xxlgx1(x4lgx)211，且直【答案】1【解析】由于f(x)88线yx与y4lgx的图像有交点，∴函数的最小值为1. 3．函数f(x)x5243x的值域是 . 【答案】[3,3] 【解析】易知f(x)的定义域是5,8，且f(x)在5,8上是增函数，从而可知f(x)的值域为[3,3]. 4.已知函数fx2为奇函数，且满足f6xfx，f(3)2，则f2010f2009

的值为 . 【答案】2【解析】由已知得fx2fx2,所以fxf4x，又

f6xfx，推出fx4fx，所以f2008f2009f0f1，f1f412，又由上面关系式推得f0f4f20，

5．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，且在区间0，1上单调递减。若f()1，1x2f(2)2，则不等式组的解集为 . 1f(x)2【答案】2，82【解析】∵ f(x)是偶函数，且在区间0，1上单调递减。

∴ f(x)在区间1，0上为增函数。又f(x)是以2为周期的周期函数，

∴ f(x)在区间1，2上为增函数。又f()1，f(2)2，以及f(x)是以2为周期的偶函数。∴ f(2)f()1，f(82)f(28)f(2)2。

又12822，∴ 不等式组的解集为2，82。

5

6．已知关于x的不等式(x1)2ax2有且仅有三个整数解，则a的取值范围为 . 【答案】169

，【解答】易知，a0，x0是不等式的解，x1不是不等式的解。94∴ 不等式的三整数解只能为2，1，0。(x1)2ax2化为，(a1)x22x10。

设f(x)(a1)x22x1，则依题意，f(x)0的两根满足3x12，0x21。

∴ f(3)9(a1)610f(0)10169a。，且。解得

94f(2)4(a1)410f(1)(a1)210169，。

94∴ a的取值范围为7．函数f(x)2x43x21x42x2的最小值为 . 【答案】1【解析】先求定义域(,－2][2,){0}，易得f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，从而只需考虑f(x)在[2,){0}上的最小值，注意到两个根号内的函数在[2,)上都递增，故f(x)在[2,)上递增，故yminmin{f(0),f(2)}1．当x0时取到最小值．

12x8．设函数f(x)，若函数g(x)的图象与yf1x那么g(2)的值等于 .

【答案】2【解析】f(x)1(x1)的图象关于直线y=x对称，1xx12x11,f(x),f(x1)

1x2xx3又f(x，y)0图象关于直线y=x成轴对称的图象的方程为F(y，x)=0, xg(x)3x32g(x)，g(2)2

g(x)3x12112二、解答题

29．已知函数yf(x)xbxc的图象过点（1，13），且函数yf(x)是偶函数. （1求f(x)的解析式；

（2）函数yf(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 2解

（1）因为函数yf(x)是偶函数，所以二次函数f(x)xbxc的对称轴126

方程为x1，故b1.又因为二次函数f(x)x2bxc的图象过点（1，13），所以21bc13，故c11.因此，f(x)的解析式为f(x)x2x11. （2）如果函数yf(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m,n2)，其中m为正整数，n为自然数，则mm11n22，从而4n2(2m1)243，即[2n(2m1)][2n(2m1)]43.注意到43是质数，且2n(2m1)2n(2m1)，2n(2m1)43,m10,解得

2n(2m1)0，所以有2n(2m1)1,n11.因此，函数yf(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）. 10．已知函数f(x)a(k1)a（1）求k的值；

（2）若f(1)求m的值．

解：（1）由题意，对任意xR，f(x)f(x)， 即axxx(a0且a1)是定义域为R上的奇函数. 32x2x，且g(x)aa2mf(x)在[1,)上的最小值为2，

2(k1)axax(k1)ax， xx 即(k1)(aax)(axax)0，

)0，

313，所以a，解得a2． 2a2 (k2)(aax 因为x为任意实数，所以k2．

（2）由（1）f(x)aa f(x)22xxxx，因为f(1)2x，g(x)222x2m(2x2x)，

3,，

2 令t2x2x，则22x22xt22，由x[1,)，得t 所以g(x)h(t)t2mt2(tm)2m，t22233时，

h(t)在2225 解得m（舍去）． 12 当m7 3, 293,上是增函数，则h2，3m22，

42

3时，则f(m)2，2m22，解得m2，或m2（舍去）．

2 综上，m的值是2． 当m11．设二次函数f(x)ax2bxc（a,b,cR,a0）满足条件：

①当xR时，f(x1)f(3x)；

②不等式4x1f(x)2x21对一切实数x都成立。 （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若关于x的方程fxfmxn0恰有四个不同的实根，且四个实根之和为2，求实数n的范围．

解：（1）由f(x1)f(3x)得yf(x)的对称轴为x1，即b2a，

在4x1f(x)2x21中令x1得3f(1)3，所以f(1)3，即abc3，结合b2a得c33a，所以f(x)ax22ax33a，由f(x)4x1恒成立，得ax22a2x43a0恒成立，所以有a0及4a24a43a0，得a10，所以a1，f(x)x22x，经验证也满足f(x)2x21恒成立，

故f(x)x22x

（2）由fxfmxn0得fxfmxn

令gxfxfmx，则gmxgx，得gx关于x故gxn的四个实根之和为422m对称，

2mm，故42得m1。

2222故gxfxf1xx2xx1，

由于gx关于x11对称，所以只需要研究函数gx在,上的图象，

22122x2x1，

x123由gx2x1， 1x2 ，得1n。

22x22x1， x28