信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教学设计实例

课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点

教 材：人教A版高中数学·必修1 一、教材分析

本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。这一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数yf(x)零点就是方程f(x)0的实数根，即函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。

二、学情分析

通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练作出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三

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个关键点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过x轴（次数不限），即曲线与x轴一定有公共点（个数不限），可以用f(a)f(b)<0来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点。所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程。

三、教学目标

知识与技能: 1.结合一元二次方程的实数根与对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，理解函数零点的定义；

2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法. 过程与方法: 1.让学生充分体会特殊到一般的探究方法，学会从特殊现象中提炼一般的规律；

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2.通过数形结合思想的渗透，提升学生对函数的认知能力；

3.零点存在性定理的探究过程和巩固练习，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法。

情感、态度、价值观: 1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

2.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成就感。

四、教学重难点

重点：函数零点的概念；零点存在的判定方法。

难点：方程的实数根与函数零点关系的灵活转化，探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

五、教学策略

1.教学方法的选定

在教学中，这节课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用多媒体，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。在零点概念的教学上，我充分利用了

“由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广。而在零点存在性定理的教学中，我主要采用了“启发——探究——讨论”的模式，找到问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容.这样的讲解，自然且易于理解。

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2.突破重、难点的策略

对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分。

探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节先利用问题三、问题四引出定理的必要性，即不是所有的函数都可以直接求出零点，所以我们有必要掌握零点存在区间的判断方法.而通过例问题1与问题3的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数y=f(x)，x∈[a,b]，若在开区间(a,b)内一定存在零点，应满足什么条件？学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.之后通过分组讨论获得定理，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入，会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成. 六、教学流程

（一）回顾旧知

引入概念

问题1：求下列一元二次方程的根，并迅速作出相应的二次函数的图像. 22

1.方程x-2x-3 =0

与函数

y＝x-2x-3

2.方程x2-2x+1=0与函数 y＝x2-2x+1

3.方程x2-2x+3=0与函数

y＝x2-2x+3

请回答下列问题：上述一元二次方程有没有根？有几个根？相应的二次函数的图像与x轴有没有交点？有几个交点？这些根和图像

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与x轴的交点的横坐标之间有什么关系？

师生互动：

1.

教师让学生用所学的知识求方程的根，并作出函数的图象。

2.

教师鼓励学生观察体会数与形之间的联系。

3.

教师引入二次函数与x轴的交点与对应方程根的关系。

设计意图：

1.让学生通过亲自动手计算和作图，加深对函数图像与x轴的交点的横坐标与方程的根的印象，并能明确二者的对应关系。

2.直接观察谈看法，引起学生的求知欲。

上述关系对一般的一元二次方程ax2bxc0(a0)及其相应的二次函数yax2bxc0(a0)也成立.

（二）信息交流 揭示规律

二次函数的图像与x轴的交点与对应方程根的关系,可推广到一般情形.为此给出函数零点的概念：

对于函数yf(x)，我们把使方程f(x)=0的实数x叫做函数yf(x)

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的零点.即：函数yf(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标. 所以，方程f(x)=0有实数解函数的图像与x轴yf(x)有交点yf(x)有零点

注：函数的零点是数不是点

师生活动：

学生通过图像的观察和分析，得出函数与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。

设计意图：

1.问题的提出，让学生在通过图像的观察以后，逐步将方程解的问题与函数的图像对应起来，奠定数形结合思想是解决方程的实数根与函数零点问题的关键。

2.让学生敢于谈自己对知识的看法，通过学生的直观感受来深入数学问题的探究。

问题2：你能从下列函数图象中分析出函数有几个零点吗？

函数图象与x轴有几个交点，函数就有几个零点

6 Oxy

设计意图：利用函数图象直观的特点，进一步突破函数零点与方程根相互转化这一难点。加深学生对方程的根与函数零点的理解。

达标训练：

x1.函数y=3的零点个数是________.

(x-1)(x-3)2.函数y=的零点是________.

x-23.函数y=lnx

－2的零点是________.

4.函数y=2x+4的零点是________.

5.函数y=logx的零点是_____.2问题3：观察二次函数f(x)x22x3的图像，我们发现函数f(x)x22x3在区间-2,1上有零点，计算f(2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间2,4上是否也具有这种特点呢？

可以发现，f(2)f(1)0，函数f(x)x22x3在期间（-2,1）内有零点x1，它是方程x22x30的一个根.同样地，f(2)f(4)0，函数f(x)x22x3在期间（2,4）内有零点x3，它是方程x22x30的另一个根.

设计意图：给学生提供探究情境,让学生自己发现并归纳结论

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问题4：观察下图，思考上述规律是否具有一般性？

yaOcbdex f(a)f(b)0，[a,b]上有零点；f(b)f(c)0，[b,c]上有零点

f(d)f(e)0，[d,e]上有零点；

设计意图：从二次函数拓展到一般函数，让学生归纳出函数零点存在的条件。

零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间a,b上存在零点，即存在ca,b，使得f(c)=0，这个c就是f(x)=0的根. 问题5：若函数f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)0，则f(x)在(a,b)内一定有零点吗？

8 yyaObxxaOb

设计意图：利用具体图像，通过观察、对比，加深对函数必须连续的理解，正例巩固、反例强化。

问题6：在此判定中，结论能推条件吗？即若f(x)在(a,b)内存在零点，是否一定要有f(a)f(b)0？

判定解析：零点存在的判定方法主要用来判定函数在某个区间上是否存在零点，且此判定不可逆用。

设计意图：通过辨析，体现思维的严谨性。

达标训练：

6.若函数f(x)在区间[1,4]上连续，且f(1)0,f(4)0，则函数f(x)在区间(1,4)上（ ）A.至少有一个零点 B.至多有一个零点

C.一定没有零点 D.必有唯一零点变式训练：若函数f(x)在区间[1,4]上连续且单调，且f(1)0,f(4)0，则函数f(x)在区间(1,4)上（ ）A.至少有一个零点 B.至多有一个零点

C.一定没有零点 D.必有唯一零点yaOxb

7.函数y2xx的零点所在的区间是（ ）A.(2，1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，2)

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例题讲解：

例1.

求函数f(x)lnx2x6的零点的个数。

解：f(1)40f(2)ln220ln21f(2)0f(3)ln310f(2)f(3)0函数f(x)在区间（2,3）内有零点又f(x)在（0,＋）上单调递增函数f(x)lnx2x6仅有一个零点

方法二：解：令lnx2x60

则有lnx-2x6

令g(x)lnx,h(x)2x6

画出两函数的图像，有几个交点就有几个零点。

设计意图：利用已学知识解决问题，提高学生解决问题的能力；零点存在性定理的初步应用，为二分法埋下伏笔；培养学生养成严密的思维习惯，严谨的学习态度，强化学生对函数零点的直观认识。

（三）反思小结 观点提炼

本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？

数学知识方面：

1.函数零点的概念

（1）定义：对于函数y=f(x)，使方程f(x)=0的实数x叫做函数

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y=f(x)的零点（zero point）. （2）方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点

2.零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间a,b上存在零点，即存在ca,b，使得f(c)=0，这个c就是f(x)=0的根. 数学思想方法方面：函数与方程思想；数形结合思想，等价转化

从特殊到一般，从具体到抽象。

设计意图：开放式小结，使不同的学生有不同的学习体验和收获. 引导学生主动建构，形成知识体系。

（四）作业布置

1.

设f(x)exx4,则函数f(x)的零点位于区间（ ）

2.若abc,则函数f(x)=（xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)

的两个零点分别位于区间（ ）

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

A.（a,b)和（b,a)内B.（-，a)和（a,b)内D.（-，a)和（c,)内

C.（b，c)和（c,)内

x21,x03.设f(x),则函数yf(x)的零点个数是

log2x,x0

A.0

B.1

C.2

D.3

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七、板书设计：

3.1.1 方程的根与函数的零点

1.零点的概念

2.函数零点方程的根函数图像与x轴交点的横坐标。

3.零点存在定理：

条件：①函数f(x)的图象在[a,b]上连续；

②f(a)f(b)0；

结论：f(x)在(a,b)内存在零点

4.问题解析

5.课堂练习

6.小结

7.作业

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