小结教学设计

3．1.1方程的根与函数的零点

钱永萍

设计理念：

本堂课的设计理念是以教材中提供的素材为载体，通过师生共同经历“观察⇒猜想”的过程，渗透数形结合，方程与函数的数学思想与方法，最终实现学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新。

教材和教学内容分析：

本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

教法分析：

数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养良好的意志品质、形成良好的道德情感。为了更好的体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破本科的重难点。

学情分析及学法指导：

本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

在学法上，精心设置了一个个问题链，并以此为主线，由浅入深，循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。

教学流程设计：

布鲁纳认为：“在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情景，帮助学生形成丰富的想象，防止过早语言化，注重直接思维。”基于此，本课是命题的新授课，设计了以学生活动为主，培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的教学流程。

2

探究概念

函数与方程的关系

概念形成

函数零点的概念

三个等价关系

零点存在性的探究

观察已知的二次函数的图象

推广到一般的函数图象

总结结论，得出猜想

得到零点存在定理

例题讲解

求函数零点的个数

总结判断函数零点个数的方法

小结本节课所学知识和数学思想方法

布置作业

分层布置作业

3

授课人

课题

课时

教材

教学目

标

钱永萍

学科

数学

方程的根与函数的零点

1课时

高中数学必修一

（一）知识与技能：

1、掌握二次函数的图象与一元二次方程根的关系；

2、理解函数（结合二次函数）零点的概念；

3、领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件。

（二）过程与方法：

1、通过观察二次函数图象，得出零点的概念；

2、通过计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。

（三）情感态度与价值观：

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；渗透函数与方程的思想方法，提升学生的抽象和概括能力。

重点：理解零点的概念及函数的零点与方程根的联系；

难点：函数零点存在判断与零点存在区间的初步确定；

突破难点的方法：利用多媒体制作课件，把方程的根与函数的零点相结合；

教学重

点

难点及突破难点的方

法

教学方

法

教学用

具

准备知

识

启发探究式教学法

多媒体、学案

解一元二次方程，二次函数图象

教学过程设计

教师活动

教学过程

(一) 探究概念

思考:一元二次方程ax2bxc0 (a≠0)的根与二次函数yax2bxc (a≠0)的图象有什么关系?

为了解决这个问题我们先来填下列表格: 学生

设计活动

意图

感知函思考

数与方

程的联

系

4

二次函数

一元二次方方方程

程程的的判根

别式

yx22x3

x22x30

函函数大致图像

数图像与x轴的交点

y

2 1 0 -1 3 1 2 3 x

y

2 1 0 1 1 2 y

yx22x1

x22x10

x

yx22x3

x22x30

0 x

设问：1、观察第一、二列回答二次函数与一元二次方程有什么关系？

2、观察第四、五列回答方程的根与对应函数的图象与x轴交点有什么关系？

3、观察第三、六列回答方程的根的存在与否对函数图象与x

轴有没交点之间有什么关系？

回答：1、当二次函数的函数值为零时就变成了方程的形式

2、函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点的横坐标即为方程ax2bxc0(a0)的根。

3、当方程的根存在的时候，对应的函数的图象与x轴有交点；当方程的根不存在的时候，对应函数的图象与x轴没有交点

5 动脑动手

回答问题

观察思考

利用表格的形式通过对比观察两者的关系

通过设问的形式引导学生归纳总结两者之间的关系

结论：

函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点的横坐标即为方程ax2bxc0(a0)的根。

当函数的函数值为零时的x的值，我们把它叫做零点

下面我们给出零点的概念

(二)概念形成

一.概念

对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点．

设问：零点是一个点吗？

回答：零点不是一个点，它指的是一个实数。

函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．

二.等价关系

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点．

故：要求函数的零点只需求出它对应方程的实根即可

例1.函数f(x)(x1)(x2)(x3)的零点为( )

(

A)

(1,0),(2,0),(3,0) (B)

1,3(C)

(0,1),(0,2),(0,3) (D)

1,2,3

练习1：求下列函数的零点

f(x)x112f(x)x24x3



4f(x)log2x13f(x)2x4补充练习:说出以上表格中三个函数的零点分别是什么? 回答：第一个是-1,3；第二个是1:；第三个没有零点

我们发现有些函数有零点存在，而有些函数没有零点存在，那么零点在什么情况下存在呢？

为了解决这个问题，我们看下面的探究题

6 归纳总结

理解,记忆

思考

理解

思考回答

通过设问的形式,引导学生理解零点的概念

总结,使知识系统化

一题多用,巩固零点的概念

(三)零点存在性的探究

（1）、观察二次函数f(x)x22x3的图象：

①

在区间2,0上有零点_ -1__；

f(2)__5_____，f(0)____-3___, ．

f(2)f(0)___<__0（＜或＞＝）②

在区间[2,4]上有零点___3___；

f(2)__-3_____ f(4)_ 5____f(2)·f(4)__<__0（＜或＞＝）．

2

1 -1 －0 1 2 3 40

－－－y

x

x x

－分析：由函数图象知，它与x轴有两个交点，故函数有两个零点，分别为-1和3，且-1在的区间我们可以取比较靠近它的一个整数区间就是2,0，而3所在的区间我们取[2,4]

由以上知f(2)f(0)0时，函数在（-2,0）内有零点

f(2)f(4)0时，函数在（2,4）内有零点

（2）、函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？

观察函数f(x)的图像

y

a c

O b d x

①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．

②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．

猜想：

若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。

由以上探索，我们知道，函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点. 我们得到一个很重要的定理

零点存在定理: 如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲

观察思考回答

理解定理

观察、思考、回答

以探究的形式归纳出零点存在的定理

引导学生观察,感知零点存在的条件

7

线并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。

注意：(1).图像在(2).a,b上的图像是连续不断的

f(a)f(b)0

练习2：判断下列函数是否有零点存在？

y

y

0 a yOb x

a 0 b x

（1） （2）

y

ba xa0 （3） （4）

分析：（1）、函数图象连续且满足在，有一个零点

（2）、函数图象连续且满足b x

f(a)f(b)0，故有零点存f(a)f(b)0，故有零点存f(a)f(b)0时，至在,有5个零点，所以当满足少存在一个零点

（3）、函数图象连续且满足f(a)f(b)0，故有零点存在，有无数个零点

（4）、函数是断开的，故没有零点

8

思考

回答

理解分析过程

通过“注意”的形式强调定理

以练习的形式更好的巩固零点存在定理

(四)例题讲解

下面我们来看例题

例1、求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。

分析：要求零点的个数首先要确定零点的存在与否，其次再找零点个数

问题：这个函数我们不能用求根公式来求对应方程的实根，故我们不能用零点的概念来做，我们引入另外一种方法：几何法

首先：我们利用电脑画出这个函数的图象，由图象我们知道，它与x轴有一个交点，故只有一个零点；我们不用图象用刚才的定理可以做吗？

x

1 2 3 4 5 6

例题理解

－4

－1.3069

1.0986

3.3863 5.6094

7.7918

f(x)

y

14

12

10

8

6

4

2

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

－2

－4

－6

由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数；

f(2)<0,f(3)>0，f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有

零点。所以它仅有一个零点。

y

一题多2 解

1

0

1 2 3 4 x

-1

0

-2

x巩固零点存在定理并分析做题方法

应用多种方法解题，开阔学生的思维，是学生应用自如

9

解法二：函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数等于方程㏑x＋2x －6=0的根的个数，则：㏑x=-2x+6 该方程的根等于y=lnx和y=-2x+6的交点的个数

有一个交点，故有一个零点

(五)判断函数零点或零点个数的方法

①定义法：解方程

f(x)=0，得出函数的零点。

②图象法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。

③定理法：函数零点存在性定理。

(六)小结

知识内容：

（1）函数零点的概念

（2）等价关系

（3）函数的零点或相应方程的根的存在性以及零点个数的判断

思想方法：函数与方程，数形结合

(七)布置作业

总结方法

归纳小结

p88 练习1、2

总结方法，形成系统的解题方法

对本节课进行归纳，检查学生的学习掌握情况

板书设计

函数的零点：

等价关系：

零点存在定理：

方程的根与函数的零点

自由书写区域

教学反思

本节课是介绍方程的根与函数零点间的关系，他们之间的邓加关系是本节课的主线，而零点存在定理是考试的考点，主要遵循“一正一负”，零点存在定理的学习是后面的二分法作准备。

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