信息技术应用 收集数据并建立函数模型优秀教案内容

第四课时，函数模型的综合应用

一、课前准备

1．课时目标

（1）

掌握函数的思想方法，即通过求出或构造出函数来解决问题；

（2）学会运用函数知识解决某些简单的实际问题；

（3）梳理社会生活中普遍使用的函数模型，并进行简单的应用。

2．基础预探

（1）．一次函数求最值主要是利用它的 ；

（2）. 二次函数求最值也是要利用它的单调性，一般我们都先 . （3）.无论什么函数求最值都要注意 .例如 等. 二、基本知识习题化

1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（

）. 2. 某种生物增长的数量y与时间的关系如下表：

x

1 y

1 下面函数关系式中，能表达这种关系的是（

）. A．yx21

B．y2x1

2 3 3 8 ．．．

．．．

C．y2x1

D．y1.5x22.5x2

3. 某企业近几年的年产值如下图：

（万元）

1000

800

600

400

200

00(年）96999798

则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（

）. A. 97年

B. 98年

C. 99年

D. 00年

4. 某商店已按每件80元的成本购进某种上装1000件，根据市场预测，当每件售价100元时可全部售完，若定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，则销售价应定为（

）

A、110元

B、130元

C、150元

D、190元

5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本

%. 三、学习引领

1．数学模型

所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构。数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.

1

2．关于数学建模中的假设

就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手。假设的作用主要表现在以下几个方面：

（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用。初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑. （2）由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解. 四、典例导析

1、一次、二次函数模型：

例1、南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

思路导析：此问题是关于利润y和份数x的关系, 根据经验我们知道:利润每份报纸赚的钱份数卖不掉的报纸份数每份报纸亏的钱,x的取值范围是250x400. 解析:设每天从报社买进x份报纸，每月获得总利润y元，则由题意，

y0.10(20x10250)0.1510(x250)

0.5x625，x[250,400]，

∵函数在[250,400]上是单调递增函数，

∴x400时，ymax825元，

所以，该摊主每天从报社买进400份时，每月所获利润最大，最大利润为825元．

规律总结:

建立目标函数后一定要注意实际应用问题中变量的取值范围

变式练习：

1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元

6 7 8 9 日均销售量/桶

480 440 400 360 销售单价/元

10 11 12

日均销售量/桶

320 280 240

请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

2、拟合函数模型

例2、某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y

给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，yaxb,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

12

2

思路导析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型. 解析：由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C (3，1.3)，D(4，1.37). （1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，

有3ab1.3a0.1,解得2ab1.2b1所以得y = 0.1x + 1. ，（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，

abc1a0.05有4a2bc1.2b0.35

9a3bc1.3c0.7所以y= –0.05x2+0.35x+0.7. （3）设yaxb，将A，B两点的坐标代入，

ab1a0.48,解得有所以y0.48x0.52

b0.522ab1.2

abc1a0.8（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得ab2c1.2,解得b0.5

3c1.4abc1.3

综上所述：所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35 规律总结：本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来. 变式练习

2、

某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？

五、随堂练习

1．

将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时能全部卖出．已知这种商品每个涨价元，其销售量就减少20个，为了得到最大利润，售价应定为每个（ ）元

(A)110

(B)105

(C)100

(D)95

2．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定程度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，分钟注水2t升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供

（ ）洗澡. 2(A)3人 (B)4人

(C)5

人

(D)6人

3．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是 元．

4、有一批材料可以围成36m长的围墙，现用此材料围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成两块矩形（如

3

图），则围成的矩形场地面积的最大值为______________.

5、如图，河流航线AC长40km，工厂B位于码头C正北30km处，原来工厂B所需原料需由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆运到工厂B，由于水运太长，运费颇高，工厂B与航运局协商在AC段上建一码头D，并由码头D到工厂B修一条新公路，原料改为按由A到D再到B的路线运输，设ADxkm0x40，每10吨的货物总运费为y元，已知每10吨货物每千米运费水路为元，陆路为2元. （1）试写出y元关于x的函数关系式；

（2）要使运费最省，码头D应建在何处？

六、课后作业

1、东方旅社有100张普通客床，每床每天收租费10元，客床可以全部都租出；若每床每天收费提高2元，出租的床的数量便减少10张；再提高2元，再减少10张，依此变化下去，为了投资少而获利到达每床每天应提高租金 （ ）元.

(A)4 (B)6 (C)4或6 (D)5

2、如图，某工厂8年来某种产品的产量c与时间（年）的函数关系，下面四种说法中，正确的是

（ ）

①前三年中产量增加的速度越来越快； ②前三年中产量增长的速度越来越慢；

③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，这种产品产量保持不变．

(A)②③(B)②④

(C)①③

(D)①④

3、某种商品，生产x吨需投入固定成本1000元，可变成本为5x元，其中pa12x元，而卖出x吨的价格为每吨p10x（a,b为常数），如果生产的x吨产品全部卖掉，可获利y元，则利润y与产销量x的b函数关系式为 ．

4

4、某水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨水，同时蓄水池又向居民小区不断供水，小时内供水总量为1206t吨0t24. （1）从供水开始到第几小时，蓄水池中水量最小？最小水量是多少？

（2）若蓄水池中水量小于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天内有几个小时会出现供水紧张现象？

5．南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

6．已知某商品的价格上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正的常数．

（1）当m1时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

2（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围．

第四课时，函数模型的综合应用

一、课前准备

2．基础预探

（1）．单调性

（2）.判定开口方向； 二、基本知识习题化

1. B

解析：由题意得，上升的速度越来越慢，故选B 2. D

解析：根据表中的数据可验证，函数y1.5x22.5x2最接近实际，故选D。

3. D

解析：由题意得，根据表中的图象的变化趋势得，00年的增长最快，故选D。

4. 解：假设提高售价x元，获得总利润y元

由题意得，y=（20+x）（1000-5x）-80×5x=-5x2+500x+20000（0≤x≤200，x∈N）

∵对称轴x=50∴当x=50即售价定为150元时，利润最大；

ymax=-5×2500+500×50+20000=32500，∴售价定为150元时，利润最大．故选C 5. 解：设平均每年降低x，（1-x）2=1-36% 解得x=20%或x=180%（舍去）．故平均每年降低20%．

四、典例导析

变式练习：

1、解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y

元，而在此情况下的日均销售量就为480–40(x–1)=520–40x(桶)由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，

于是可得y=(520–40x)x–200 = –40x2+520x–200，0＜x＜13易知，当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

5

2、

解析：老师借助电脑解答问题

（1）列表

（2）画散点图.

（3）确定函数模型. 甲：y1= –x2 +12x+41，

乙：y2 = –52.07×0.778x + 92.5

（4）做出函数图象进行比较.

计算x = 6时，y1 = 77，y2 = 80.9. 可见，乙选择的模型较好. 五、随堂练习

1、答案：D 2．答案：B 2解析：设最多用分钟，则水箱内水量y2002t34t，当t1717289时y有最小值，此时共放水3422升，可供4人洗澡.

3．答案：2250

4、答案：54 m2

5、分析：①.总运费y元水路运费陆路运费②.水路运费1x元,陆路长度DB

22可以勾股定理求得:(40x)30,

22陆路运费2(40x)30(元).

③.建立此问题的函数模型: yx2(40x)2302

0x40. 对于问题(2)我们可以利用求函数值域的方法求得运费最省时,D点的位置.

6

六、课后作业

1、答案：B 2、答案：B 3、答案：y10b10bx2a5x1000

4、答案：（1）6小时，40吨；

5．解析：设每天从报社买进x份报纸，每月获得总利润y元，则由题意，

y0.10(20x10250)0.1510(x250)

0.5x625，x[250,400]，

∵函数在[250,400]上是单调递增函数，

∴x400时，ymax825元，

所以，该摊主每天从报社买进400份时，每月所获利润最大，最大利润为825元．

6．解答：（1）设商品现在定价a元，卖出的数量为b个．

由题设：当价格上涨x%时，销售总额ya(1x%)b(1mx%)，

即yab10000[mx2100(1m)x10000],（0x100m），

取m1ab[(x50)22得：y2000022500]，

当x50时，y9max8ab，

即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大．

（2）二次函数yab10000[mx2100(1m)x10000],在

(,50(1m)m]上递增，

在[50(1m)m,)上递减，

适当地涨价能使销售总金额增加，即在(0,100m)内存在一个区间，使函数y在此区间上是增函数，所以

50(1m)m0

，

解得0m1，即所求m的取值范围是0,1．

7