阅读与思考 集合中元素的个数教学实录与评析

实际问题与二次函数

【教学目标】 1.组织学生能正确求二次函数yax2bxc(a0)的最小（大）值；

2.引导学生经历从实际问题中抽象出二次函数模型的过程，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题，感受数形结合思想的运用；

3.组织学生感受合作学习的重要与快乐。

【教学重、难点】

1．教学重点：从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数的最小（大）

值解决实

际问题；

2.教学难点：将实际问题转化为二次函数问题；确定自变量取值范围及画函数大致图象。

【教学过程】

【开课语：相信所有的领导、老师都在期待每一位同学的勇于思考和敢于表达，你准备好了吗？现在，请大家完成第一组问题。】

一、设计问题，创设情境。

2 用一条40m的绳子能围成一个面积为75m的矩形吗？

2 用一条40m的绳子能围成一个面积为75m的矩形吗？

2 能围成一个面积为105m的矩形吗？

请说明理由。 x 学生活动：学生展示前一天的作业。 教师活动：这是前一天的作业题目，它的原型在课本26页第11题，你们完成了吗？学生在讲解时，教师适时板书“实际问题——→一元二次方程模型”。

【设计意图：通过课本26页第11题，既让学生感受面积随一边长的变化而改变，又为引入“实际问题——→一元二次方程模型”，为后续类比归纳“实际问题——→二次函数模型”做好铺垫。】

【衔接语：有上述过程可知，矩形的面积y随着一边长x的变化而变化，并且所围成的面积达不到105，那么你能运用本章所学的知识求出这个最大面积吗？】

二、学生探索，尝试解决。

用总长为40m的绳子围成矩形场地，矩形的面积y 随矩形一边长x

的变化而变化。

当x是多少米时，场地的面积y最大？

x 学生活动：学生尝试独立完成，并由一个小组代表板演。

教师活动：深入到各小组，了解学生的完成情况，并组织学生先在小组内交流。

【设计意图：通过借助二次函数的最大值解决最大面积问题，让学生初步感受“实际问题——→二次函数模型”的过程。】

三、信息交流，揭示规律。

简记：__________________________________________________________ 学生活动：由小组代表解读设计方案，并小结利用二次函数解决实际问题的一般方法，简记1.列→定→画；2.算；3.回。

教师活动：倾听学生的解读，并适时类比修改板书“一元二次方程为二次函数”。抛出问题：赋予了实际意义的yx220x，它的图像还是一条完整的抛物线吗？引发学生对自变量取值范围的思考。擦去多余部分，得到实际问题中的函数图像。引导学生观察图像，让学生数形结合思想，正如我国著名数学家华罗庚所说“形缺数时难入微，数缺形时少直观”，可见数形结合在我们解决问题的过程中的强大作用，值得我们每个人去领悟、去借用。

【设计意图：通过借助二次函数的最大值解决最大面积问题的解读过程，让学生初步感受“实际问题——→二次函数模型”的过程，并小结利用二次函数解决实际问题的一般方法。】

【衔接语：事实上，人们不仅利用二次函数解决最大面积问题，在生活中还常常利用二次函数求得最大利润，请看探究二。】

四、运用规律，解决问题。

某文具每件进价6元，每件售价10元时每周可卖出30件；

（1）此时每周的总利润为____________元(只列算式)；

（2）经调查，每涨价1元，每周少卖5件，若设涨价x元时每周的总利润为y元，当涨价多少元时获得利润最大？

学生活动：学生先独立完成，并在组内交流。

教师活动：深入到各小组，了解学生的完成情况，做好个别辅导。组织学生交流展示，注重倾听学生的解读，并强调“数学问题的转化与实际问题的回归”以及自变量和大致图象的正确性。

【设计意图：通过借助二次函数的最大值解决最大利润问题的过程，让学生再次感受“实际问题——→二次函数模型”的过程，并小结利用二次函数解决实际问题的一般方法，使本节课的重点内容达到强化。】

【衔接语：到此，我们已经对利用二次函数解决实际问题的一般方法有了进一步的理解，下面你能应用本节课所学知识来解决下面的问题吗？】

五、变练演编，深化提高。

1.某文具进价每件6元，每件售价10元时每周可卖出30件；经调查，每降价1元，每周多卖10件，如果设降价x元时的总利润为y元，y与x之间的函数关系式为____________________________________。

2.两个正方形的周长之和为20cm,设其中一个正方形的边长为xcm；

（1）另一个正方形的边长是_________

(2)设两个正方形的面积之和为ycm2，若需制成两个木板，当

x为多少时，才能使用料y最省？

学生活动：学生用约10分钟的时间独立完成这个题目，并在组内交流; 教师活动：深入到各小组，了解学生的完成情况，做好个别辅导。在组织学生展示交流中，第1题交流后作为今天的作业，第2题感受最小值在生活中的应用。

【设计意图：巩固本节课所学的内容，通过変练演编再次体会将二次函数的最大（小）值的结论与已有知识综合运用解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。】

六、反思小结，观点提炼。

学生活动：学生畅所欲言，交流最深的感受。

教师活动：倾听学生的反思，并强调“实际问题——→二次函数模型”的一般方法，补充说明本节课中在自变量的某段范围内都是借助顶点坐标求得最值，随着以后的学习最值不仅仅会借助顶点坐标求得，相信大家会有更多的感受。

【设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，教学相长。】

推荐作业：

1.必做题：某文具进价每件6元，每件售价10元时每周可卖出30件；经调查，每降价1元，每周多卖10件，如果设降价x元时的总利润为y元；

（1）y与x之间的函数关系式为____________________________________。

（2）求出此时的最大利润。

2.选做题：尝试编写一道求实际问题最值的问题。

板书设计：

22.3实际问题与二次函数

实际问题——————→二次函数模型 一般步骤：

1.列→定→画；

2.算；

3.回。