阅读与思考 集合中元素的个数教学实录与评析

第一课时

集合的含义与表示

一．教学目标

1.了解集合的含义，掌握常用数集及其记法。

2.体会元素与集合之间的关系，能准确判断一个元素“属于“或“不属于”某一个集合。

3.理解集合常用的表示方法，能选择不同的表示方法描述不同的具体问题。

二．教学内容

1.元素：一般地，我们把研究的对象称为元素（element）。元素通常用小写字母a，b，c…表示。

2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。集合通常用大写字母A，B，C…表示。

“我们一般用花括号‘{}’表示集合”，也就是赋予了符号“{}”新的含义：表示“所有的”、“全部的”，具有共同特征的研究对象都在大括号内。

注意：{正数}表示所有大于0的实数组成的集合，这种表示是正确的。

但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义。[来源:Z_xx_k.Com] 3.元素与集合的关系（重点）：元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。元素a属于集合A，记作aA；元素a不属于集合A，记作aA。

（1）符号和是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。

（2）aA与aA取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只有一种成立。

（3）空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，通常记为。

【例1】用符号或填空：

{xxn21，nN*}；

{xx11}， 23 {xx3}；

（2）3 （1）23 1) {yyx2}， (1，1) {(x，y）yx2}。

（3）(1，2【例2】已知集合A{xax3x20},其中a为常数且aR。

（1）

若集合A是空集，求a的范围；

（2）

若集合A只有一个元素，求a的值；

（3）

若集合A中至多有一个元素，求a的范围。

4.集合中元素的特征（重难点）：

①确定性：给定一个集合的标准可以准确判断一个对象是否属于这个集合

②互异性：集合中的元素一定是互不相同的，或者说同一个元素在集合中只能出现一次

③无序性：集合中元素排列次序不分先后。

【例3】考查下列每组对象能否构成一个集合：

（1）著名数学家；

（2）优达辅导学校所有高个子同学；

（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；

（4）所有的近似值；

（5）不超过10的非负数。

x，x，x，3x所组成的集合，最多含有元素的个数为（

）

【例4】由实数x，

A.2

B.3

C.4

D.5 23【例5】已知集合M={-2，3x23x4， x2x4}，若2M，求x。

【例6】设集合A={1，a，b}，B={a，a，ab}，且A=B，求实数a，b。

2【例7】已知集合S={a，b，c}中三个元素分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

【例8】.设方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的根构成集合A，若A中只有一个元素，则a的值为________．

答案

0或1

1解析

当a＝0时，x＝－，当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，故a为0或1. 25.集合的分类：①有限集；②无限集。

6.集合的表示方法（重点）：

(1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。

如：大于1且小于10的偶数构成的集合

注意：用自然语言描述集合不要出现花括号{}。

(2)列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。

如：所有正奇数的集合为{1，3，5，7，9，…}

注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”；注意元素必须满足“确定性”和“互异性”。

(3)描述法：把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的一般形式是

{xI |P(x)}，其中“x ”是集合中元素的代表形式，它的范围是I；“P(x)”是集合中元素x的共同特征，

竖线不可省略。

如不等式2x-5>1的解集可表示为{x|x > 3}或{xR|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1} (4)韦恩（Venn）图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的整体。

(5)区间法：（将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。）

7.常见数集的表示方法：

对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合：

①非负整数集（或自然数集）记作N；②正整数集记作N+或者N*；③整数集记作Z；④有理数集记作Q；⑤实数集记作R。

【例9】按要求分别表示下面的集合：

（1）用自然语言描述集合{0，2，4，6，8，…}；

（2）用列举法表示集合{30的正约数}；

（3）用描述法表示集合“正偶数集”；

（4）用描述法表示集合{2，-4，6，-8，…，98，-100}；

[来源:Zxxk.Com]

（5）用列举法表示集合{(x，y)|x+y=3，xN，yN}。

思考1：集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合？________；

集合{(1,2)}与集合{(2,1)}是否表示同一集合？______.(填“是”或“不是”) 答案

是，不是

2思考2：下面三个集合：①{xyx21}；②{yyx1}；③{(x，y)yx21}。

（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？

补充：识别集合含义的方法（1）看代表元素；（2）看条件

三．课堂练习

夯实基础

1．考查下列对象能否构成集合：

(1)高一数学必修1上的所有难题；

(2)参加北京奥运会的所有年轻运动员；

(3)不超过20的非负数；

(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；

(6)3的近似值的全体．

答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．

2．用适当的符号填空：

(1)0__________N，5__________N，16__________N；

1

(2)－__________Q，π__________Q，e__________∁RQ(e是个无理数)；

2

(3)2－3＋2＋3＝__________{x|x＝a＋6b，a∈Q，b∈Q}．

答案：(1)∈



∈

(2)∈



∈

(3)∈

3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．

解：∵2∈A，

∴m＝2或m2－3m＋2＝2. 若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．

若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3. m＝0不合题意，舍去．

∴m只能取3. 4．用适当方法表示下列集合：

(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合；

(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；

(3)不等式x－3＞2的解集；

(4)自然数中不大于10的质数集．

答案：(1)描述法：{(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．

[来源y＝x＋3(2)描述法：(x，y)y＝－2x＋6列举法：{(1,4)}．

(3)描述法：{x|x＞5} (4)列举法：{2,3,5,7}．

拓展研究

x＝1＝(x，y)y＝4

. 思考1：设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q. 活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导

学生讨论：本题中集合P，Q对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；

最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．

解：∵P＝Q且0∈Q，∴0∈P. 若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，从而Q＝{x2＋y2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y ≠0且x－y≠0；

若xy＝0，则x＝0或y＝0. 2

当y＝0时，P＝{x，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，

∴y≠0；

当x＝0时，P＝{－y，y,0}，Q＝{y2，－y2,0}，

由P＝Q得y＝－y，y≠0，2－y＝y2，

①

或y＝y，y≠0.2－y＝－y2，

②

由①得y＝－1，由②得y＝1，

x＝0，x＝0，∴或

y＝－1y＝1，此时P＝Q＝{1，－1,0}．

点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．

思考2：已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围．

活动探究：讨论关于x的方程ax2－3x＋2＝0实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意，方程有

一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．

2解：(1)a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．

3(2)a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．

9由Δ＝9－8a≤0，得a≥. 89∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．

89综合(1)(2)，知a＝0或a≥. 8

点评：“a＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a≠0”的条件下，方程ax2－3x＋2＝0才是一元二

次方程，才能用判别式Δ解决问题．

思考3：设S＝{x|x＝m＋2n，m，n∈Z}．

(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？

(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S? 活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再

引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋2n的形式；如果能，m和n分别是多少，如果不

能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素

的特征即可．

针对问题(2)——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋

x2，x1·x2是否是集合S中的元素．[来源:Z§xx§k.Com]

2×0∈S. 解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋(2)不妨设x1＝m＋则x1＋x2＝(m＋2n，x2＝p＋2q，m，n，p，q∈Z. 2(n＋q)，m，n，p，q∈Z. 2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z. 2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S. 点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．

第二课时

集合间的基本关系

一．教学目标

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．

2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．

二．教学内容

1.子集：（重难点）对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：AB（或BA）。这时我们也说集合A是集合B的子集。

注意：①当A不是B的子集是记作AB（或BA）；②任何一个集合是它本身的子集，即AA；④空集是任何集合的子集，即A；⑤子集具有“传递性”，即：如果AB，BC，那么AC。

【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关

系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？

图6

思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．

解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．

2【例2】已知集合A＝{－1，3，2m－1}，

B＝{3，m}。若BA，求实数m的值。

2【例3】已知集合P{xx1}，集合Q{xax1}，若QP，求a的值。

【例4】已知集合Ax|x2x60，Bx|mx10，且BA，求m取值范围。

2.集合相等：如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

根据集合相等的定义可知：要证明A=B，只要证明AB且BA成立即可。

【例5】下列各组中的两个集合相等的有（

）

①P{xx2n，nZ}， Q{xx2(n1)，nZ}；

②P{xx2n1，nN}， Q{xx2n1，nN}；



1(1)n Q{xx，nZ}

③P{xxx0}，22

A. ①②③

B. ①③

C. ②③

D. ①②[来源学科网]

3.真子集：如果AB，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作AB

注意：空集是任何非空集合的真子集。

【例6】已知集合M＝{x |2－x＜0}，集合N＝{x |ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围．

M，则N＝或N≠，分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于N要对集合N是否为空集分类讨论．

解：由题意得M＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠.当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝10；当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝，又∵Na111M，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜.aa2110≤a<综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜，即实数a的取值范围是a22【例7】设集合A＝{x ||x |2－3|x |＋2＝0}，B＝{x |(a－2)x＝2}，则满足B A．2个

B．3个

C．4个

D．5个



. A的a的值共有(

) 解析：由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠.当B＝时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠时，22222关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝∈A，∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.解得a＝1a－2a－2a－2a－2a－2或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．

答案：D 4.有限集合的子集个数问题：

①

n个元素的集合有2个子集；

nn②

n个元素的集合有21个真子集；

n③

n个元素的集合有21个非空子集。

④

n个元素的集合有22个非空真子集

n

【例7】已知集合M满足{1，2}M{1，2，3，4，5}，满足条件的集合M有多少个？写出所有的满足条件的集合M。

【例8】设集合M={x

A.M=N

x30}，集合N={x(x4)(x1)0}，则M与N的关系是（）

x2

C. MN

D.MN

B.MN

【例9】已知A={xk1x2k}，B={x1x3}，且AB，求实数k的取值范围。

三．课堂练习

夯实基础

1．判断正误：

(1)空集没有子集．(

) (2)空集是任何一个集合的真子集．(

) (3)任一集合必有两个或两个以上的子集．(

) (4)若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.(

) 分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．

解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．

对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．

对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．

对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB. 2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．[来源学科网]

分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．

解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，

即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．

真子集：，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．

3．(1)下列命题正确的是(

) A．无限集的真子集是有限集

B．任何一个集合必定有两个子集

C．自然数集是整数集的真子集

D．{1}是质数集的真子集

(2)以下五个式子中，错误的个数为(

) ①{1}∈{0,1,2} ②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2} ④∈{0,1,2} ⑤∈{0} A．5

B．2

C．3

D．4 (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是(

) A．aM

B．aM M C．{a}∈M

D．{a}解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D. (2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．

①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是⊆{0,1,2}，⑤应是⊆{0}．

故错误的有①④⑤. (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π. 因3＜a＜4，故a是M的一个元素，

因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}答案：(1)C (2)C (3)D 4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：

(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；

(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．

解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，

故A，B都是由奇数构成的，即A＝B. (2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，

在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．

故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有B点评：此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．

5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值．

P成立．又当a≠0时，A. M. 解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，Q

1Q＝{x|ax＋1＝0}＝－，要Qa11a＝－或a＝. 231111P成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.综上所述，a＝0或aa23点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP. P⊆B，求满足条件的6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使A集合P. 解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，

B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，

由AP⊆B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为[来源:Zxxk.Com]

{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．

点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．

7．设A＝{0,1}，B＝{x |x ⊆A}，则A与B应具有何种关系？

解：因A＝{0,1}，B＝{x |x ⊆A}，

故x为，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B. 点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．

8．集合A＝{x |－2≤x≤5}，B＝{x |m＋1≤x≤2m－1}，

(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；

(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足B⊆A. m＋1≥－2，当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B⊆A成立，需可得2≤m≤3. 2m－1≤5，综上所得实数m的取值范围为m≤3. (2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，

∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.

(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．

则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；

m＋1≤2m－1，m＋1≤2m－1，②若B≠，则要满足条件：或解之，得m＞4. m＋1>52m－1<－2，综上有m＜2或m＞4. 点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用．

拓展研究

思考：已知A⊆B，且A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？

活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．

思路1：写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；

思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．

解法1：因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．

又满足A⊆C的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．

其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个：，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．

解法2：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有23＝8(个)．

点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．

第三课时

集合的基本运算

一．教学目标

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 3.能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 二．教学内容

1.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。

记作A∪B。读作：A并B。其含义用符号表示为：A用Venn图表示并集如下：

B{x|xA,或xB}

A

2【例1】

设集合A={xZxpx150},集合B={xZx25xq0},若已知AB={2,3,5},则集

B 合A、B分别为（

）

A．{3，5}、{2，3}

B．{2，3}、{3，5}

C．{2，5}、{3，5}

D．{3，5}、{2，5} 2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。

记作：A∩B。读作：A交B。其含义用符号表示为：AB{xxA，且xB}。

用Venn图表示交集如下：

A

【例2】已知A

【例3】

若M={xn

B yyx24x6,yN,Byyx22x18,yN,求AB

xx1,nZ}，N={xn,nZ}，则MN等于（

）

22

D．Z A．

B．{}

C．{0}

【例4】

集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？

活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．

解：因为A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝.

图3 点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果. 跟踪练习：

1．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B. 解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*，因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B. 而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B. 2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．

解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B. 3．设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a. 解：∵A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9. ∴a＝10或a＝±3. 当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；

当a＝3时，a－1＝2不合题意；

当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．

故a＝10.此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．

4．设集合A＝{x |2x＋1＜3}，B＝{x |－3＜x＜2}，则A∩B等于(

) A．{x|－3＜x＜1}

B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞－3}

D．{x|x＜1} 解析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，

观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．

答案：A 3.交集与并集的运算性质：

①AAA，AAA；

②A，AA；

③ABBA，ABBA；

④(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)；

⑤ABAAB，ABABA。[来源: 【例5】

设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．

活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．

解：由题意得A＝{－4,0}．

∵A∩B＝B，∴B⊆A. ∴B＝或B≠. 当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，

则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1. 当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，

此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，即a＝－1符合题意．

若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，

即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0. －4＋0＝－2(a＋1)，则有

2－1.－4×0＝a解得a＝1，则a＝1符合题意．

综上所得，a＝1或a≤－1. 跟踪练习：

1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A ∩B )成立的所有a值的集合是什么？

2a13a5,解：由题意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用数轴得2a13,解得6≤a≤9，即所有a值的3a522.集合是{a|6≤a≤9}．

2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．

分析：由A∪B＝A得B⊆A，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．

解：∵A∪B＝A，∴B⊆A. 又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠. 当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2. 当B≠时，观察图4：

图4 m12m1,由数轴可得2m1,解得2≤m≤3. 2m15.综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3. 4.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

5.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

其含义用符号表示为：CUA{xxU，且xA}

用Venn图表示交集如下：

【例6】设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB. UACUA

活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出∁UA，∁UB. 解：根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，

所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}．

点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．

跟踪练习：

1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∩(∁UB)等于(

) A．{1,6}

B．{4,5} C．{2,3,4,5,7}

D．{1,2,3,6,7} 解析：思路一：观察得(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,6}∩{1,2,6,7}＝{1,6}．思路二：A∪B＝{2,3,4,5,7}，则(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{1,6}．

答案：A 2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(∁UB)等于(

) A．{1,2,3,4,5}

B．{1,4} C．{1,2,4}

D．{3,5} 答案：B 3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{3，4,5,6,7}，则P∩(∁UQ)等于(

) A．{1,2}

B．{3,4,5} C．{1,2,6,7}

D．{1,2,3,4,5} 答案：A 6.补集与交集、并集的性质——反演律：

①CU(AB)(CUA)(CUB)；②CU(AB)(CUA)(CUB)。

【例7】设全集U＝{x |x是三角形}，A＝{x

|x是锐角三角形}，B＝{x |x是钝角三角形}．求A∩B，

∁U(A∪B)．

活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，∁U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组

成的集合．

解：根据三角形的分类可知A∩B＝，

A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，

∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}. 跟踪练习：

1．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求∁RA. 解：∁RA＝{x|x＜3，或x≥8}．

2．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，∁AB，∁SA. 解：B∩C＝{x|x是正方形}，∁AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}，∁SA＝{x|x是梯形}．

3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁IA)∩B＝{2}，(∁IB)∩A＝{4}，求实数a，b的值．

812解：a＝，b＝－. 774．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋3}，B＝{3,4,5,6}，则(∁UA)∩B等于(

) A．{4}

B．{4,5,6}

C．{2,3,4}

D．{1,2,3,4} 解析：∵U＝R，A＝{x|x≤2＋答案：B 例2 设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∩B＝{7,19}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B. 活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．

解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，

由题意借助于Venn图，如图8所示，

3}，∴∁UA＝{x|x＞2＋3}．而4,5,6都大于2＋3，∴(∁UA)∩B＝{4,5,6}．

图8 ∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．

点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性. 跟踪练习：

1．设I为全集，M，N，P都是它的子集，则图9中阴影部分表示的集合是(

)

图9 A．M∩[(∁IN)∩P] B．M∩(N∪P) C．[(∁IM)∩(∁IN)]∩P

D．M∩N∪(N∩P) 解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B，D. 思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内，即在(∁IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(∁IN)∩P]．

答案：A 2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁UA)∩B＝{3,7}，(∁UB)∩A＝{2,8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________. 解析：借助Venn图，如图10，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了．

图10 答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9} 三．课堂练习

夯实基础

1．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，

(1)求A∩B，A∪B. (2)用适当的符号(⊇，⊆)填空：

A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B. 解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，

则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．

又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．

(2)由Venn图可知

A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B. 2．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B. 解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．

3．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B. 解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分．

所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝. 4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B. 解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．

5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B. 解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．

6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B. [来源学_科_网]

分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素．

解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，∴A＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，

(1,2)，(2,1)}．

7．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有(

) A．A⊆C

B．C⊆A

C．A≠C

D．A＝

解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B＝B∩C，∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C. 思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B，D，

令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，

而此时A＝C，排除C. 答案：A 8．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述∁UA的意义．

解：A＝{x|2x＋1＞0}，即不等式2x＋1＞0的解集，∁UA中元素均不能使2x＋1＞0成立，即∁UA中元素应当满足2x＋1≤0.∴∁UA即不等式2x＋1≤0的解集．

9．如图11所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．

[来源:Zxxk.Com]

图11 解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内；二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即(∁US)∩(M∩P)．

答案：(∁US)∩(M∩P) 10．设集合A，B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则A等于(

) A．{1,2}

B．{2,3}

C．{3,4}

D．{1,4} 解析：如图12所示．

图12 由于(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则有∁UA＝{1,2}．∴A＝{3,4}．

答案：C 11．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则∁U(S∪T)等于(

) A．

B．{2,4,7,8}

C．{1,3,5,6}

D．{2,4,6,8} 解析：直接观察(或画出Venn图)，得S∪T＝{1,3,5,6}，则∁U(S∪T)＝{2,4,7,8}．

答案：B 12．已知集合I＝{1,2,3,4}，A＝{1}，B＝{2,4}，则A∪(∁IB)等于(

) A．{1}

B．{1,3}

C．{3}

D．{1,2,3} 解析：∵∁IB＝{1,3}，∴A∪(∁IB)＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．

答案：B 拓展探究

思考1：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；

(2)当A＝时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；

(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系．

由(1)(2)(3)你发现了什么结论？

图5 活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系．(1)(2)(3)中的集合A，B均满足A⊆B，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系．

解：A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B. 用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：

A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；A∪A＝A，A∪＝A，A⊆B⇔A∪B＝B；

A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；A∩A＝A；A∩＝；A⊆B⇔A∩B＝A. 思考2：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题

均解对者有20人，问：

(1)至少解对其中一题者有多少人？

(2)两题均未解对者有多少人？

分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题的各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决．

解：设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C＝{解对甲题的学生}，B∪C＝{解对乙题的学生}，

A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}，∁U(A∪B∪C)＝{两题均未解对的学生}．

由已知，A∪C有34个人，C有20个人，

从而知A有14个人；B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人．因此A∪B∪C有N1＝14＋8＋20＝42(人)，∁U(A∪B∪C)有N2＝50－42＝8(人)．

∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人．