探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优质课教案

互为反函数的两个函数图像之间的关系

一、教材分析：

本节课是《数学（1）》（人教A版）第二章第二节后探究与发现内容，这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，可以让学生接受、理解反函数的概念，体会互为反函数的两个函数图像之间的关系，又可使学生加深对函数基本概念的理解。

二、学情分析：

学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 三、教学目标分析： 知识与技能：

（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。

（3）情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

四、教学重点与难点

教学重点：互为反函数的两个函数图像之间的关系

教学难点：反函数的定义和求法. 五、教学过程设计

（一）创设情景、提出问题

设a为大于0且不为1的常数,对于等式at＝s,若以t为自变量可得指数函数yax，若以s为自变量可得对数函数ylogax那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. （二）师生互动、探究新知

探究点一指数函数与对数函数的关系

为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y2x及ylog2x的图象. 问题1：函数y2x及ylog2x的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？

答：函数y2x的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数ylog2x的定义域为(0,＋∞),值域为R.

1

函数y2x的定义域和值域分别是函数ylog2x的值域和定义域. 问题2 ：取函数y2x的图象上的几个点，如：P1,P2,P3,关于直线1(1,),P2(0,1),P3(1,2),P12yx的对称点坐标是什么？它们在函数ylog2x的图像上吗？为什么？

'1'',P,P,答：P关于直线的对称点坐标分别为yxP,0),P1231(,1),P2(13(2,1),每个点坐标满足2ylog2x，它们在函数ylog2x的图像上

问题3 ：

如果点P0(x0,y0)在y2x的图象上，那么P0(x0,y0)关于直线yx的对称点坐标是什么？它在函数ylog2x的图像上吗？为什么？

x0'答：利用对称性可知P0(x0,y0)关于直线yx的对称点坐标分别为P0(y0,x0)，因为y02，'所以x0log2y0，即点P0(y0,x0)在函数ylog2x的图像上。

问题4：综合问题2和问题3指数函数y2x以及对数函数ylog2x的图像，这两个函数图像有什么对称关系？

答：由问题3可知函数y2x及ylog2x的图像关于直线y＝x对称

问题5：上述结论对于指数函数yax(a0,a1)以及对数函数ylogax(a0,a1)的图像也成立吗？为什么？

答：指数函数yax(a0,a1)以及对数函数ylogax(a0,a1)的图像关于直线y＝x对称，因为设P0(x0,y0)在函数yax(a0,a1)上，由对称性可知P0(x0,y0)关于直线yx的x0''对称点坐标分别为P0(y0,x0)，由则y0a，所以x0logay0，即点P0(y0,x0)在函数ylogax的图像上，所以两图像关于直线y＝x对称

问题6：指数函数yax(a0,a1)以及对数函数ylogax(a0,a1)的单调性之间有什么联系吗？

答：指数函数yax(a0,a1)以及对数函数ylogax(a0,a1)的单调性相同，同增同减。

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以上几个问题的解答过程都可以用几何画板给学生做出演示，以下给出几何画板演示过程. 问题1：

（1.）利用几何画板画出函数f（x）=2，g(x)log2x，y＝x的图像．让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．

问题2 ：

（2.）绘制函数f（x）=2上点P1（－1，0.5），P2（0，1），P3（1，2），

（3）双击直线y＝x，将直线y＝x标记镜面，同时选中P1，P2，P3，单击（变换）菜单的（反射），屏幕上出现它们的对称点P1，P2，P3．

（4）同时选中P1，P2，P3，单击（度量）菜单的（坐标），屏幕上出现点P1，P2，P3的坐标；同时选中P1，P2，P3单击菜单的（度量），屏幕上出现P1，P2，P3的坐标．

（5）先让学生观察点P1，P2，P3是否落在函数ylog2x的图象上；再利用测量出来的点的坐标验证点P1，P2，P3均落在函数ylog2x的图象上．

xx

问题3 ：

（1）选中函数f（x）＝2x的图象，单击（构造）菜单的（对象上的点），用文本工具给点标签为P0，再用工具选中点P0，单击（度量）菜单的（坐标），屏幕上出现点P0的坐标．

（2）同上作法画出点P0关于直线y＝x的对称点P0，并度量出它的坐标．

（3）单击（编辑）菜单的（操作类按钮）

中的（动画），屏幕上出现操作类按钮（运动点），选择文本工具将按钮名称改为【运动点P0】，

3

（4）单击按钮，则点P0与P0/同时在各自的曲线上运动或停止．学生可以清楚得看到P0始终落在函数ylog2x的图象上．

由上述探究过程都可以得到以下结论：函数y2x及其反函数ylog2x的图象关于直线y＝x对称．

问题4：

（1）单击（文件）菜单的（文档选项）对话框，单击（增加页），单击（空白页），将此页面命名为“a变化”．

（2）单击菜单中的（定义坐标系），屏幕上出现一个平面直角坐标系，用工具画一条过原点和（15，0）点的线段，用工具选择线段，单击（构造）菜单中的（对象上的点），在线段上出现一个点，点的标签为A，用工具单击（度量）菜单的（横坐标），屏幕上出现xA=3.36,用工具将xA改为a．

（3）单击菜单中的（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击a，^，x，其中^，x在函数编辑器上，a在屏幕上，单击（确定）后立即出现函数yax的图象，把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击菜单中的粗线．）

（4）单击菜单中的（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击ln，（，x，），/，ln，（，

a，），ln在函数编辑器的函数选择菜单上，a在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击（确定）立即出现函数ylogax的图象．把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击菜单中的粗线．）

（5）用工具选中点A，单击（编辑）菜单的（操作类按钮）

中的（动画），屏幕上出现操作类按钮（运动点），用工具将按钮名称改为a，选中线段端点A，单击（显示）中的（隐

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藏），隐藏线段及点A．单击按钮，两个函数图象随a的变动而跟着变动．再画直线y＝x，让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．

（6）任取f（x）= ax图象上的一个点P，度量出P的横坐标和纵坐标xB,yB，再依次点击yB,xB，单击菜单中的（绘制点），即绘制点P关于y＝x的对称点

P，单击菜单中的（追踪点），可以发现点P/的轨迹与yax的反函数ylogax的图象重合．画出过点P与点P/的线段，单击（构造）菜单中的（线段的中点），用工具将将中点的标签记为点M，单击（构造）菜单中的（轨迹），当P运动时，发现M在直线yx上运动.

图4 单击【运动点P】，让学生观察，点P与点P的坐标的变化情况，从而进一步验证了上述结论对于（a>0，a1）的情况下仍然成立．

【设计意图：以上几个问题层层递进，由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索，发现指数函数和对数函数图像之间的关系，这样比直接给出学生理解和记忆的更深刻。最后结合几何画板计算机手段动态演示，让学生体会两个图像的变化】

探究点二

反函数的概念和求法

问题1对数函数ylogax与指数函数ya互为反函数，两个函数是一一映射吗？为什么？

答：是一一映射,因为对数函数ylogax与指数函数ya都是单调函数,所以不同的x值总有不同的y值与之对应,不同的y值也总有不同的x值与之对应. 问题2对数函数ylogax与指数函数ya互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？

答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f1(x)表示. －xxx

5

例1：求函数yx3

(x∈R)的反函数？

答：把y作为自变量,x作为y的函数,则x3y,(y∈R).通常自变量用x表示,函数用y表示,则反函数为y3x,(x∈R). 例2：已知函数f(x)3x11(xa,a)

xa31）求

f ( x ) 的反函数；

2）若这个函数图象关于

y = x 对称，求

a 值。

解：1)由y1ay3x13(xa)13a13ayxay3x1x，又y33

y3xaxaxaf1(x)1ax(x3)

x32）由题

函数图象关于

y = x 对称，可知

f（x）的反函数是它本身即f(x)f1(x)

3x11ax，

∴

a = －3 xax3小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y＝f(x)中解出x; (3)x、y互换并注明反函数的定义域. （三）巩固训练、提升总结

1

写出下列函数的反函数: 2x1(1)y＝lg x;

(2)y＝logx;

(3)y＝3. 3解：(1)y＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y＝10x (x∈R). 11(2)ylog1x

(x>0)的底数为,它的反函数为指数函数y

(x∈R). 333x22(3)

y

(x∈R)的底数为,它的反函数为对数函数ylog2x(x>0) 333－1x2

已知函数f(x)＝a－k的图象过点(1,3),其反函数y＝f(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达式为_______ －解析：

∵y＝f1(x)的图象过点(2,0),

∴y＝f(x)的图象过点(0,2).

∴2＝a0－k,∴k＝－1.∴f(x)＝ax＋1. 又∵y＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1,

∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1. 小结：由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知:若点(a,b)在y＝f(x)的图象上,则点(b,a)必－在y＝f1(x)的图象上.

3.函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a的值. 解:根据反函数的概念,知函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1),∴1＝loga3,∴a＝3.

练一练：当堂检测、目标达成落实处

－1.函数y＝21x＋3 (x∈R)的反函数的解析表达式为

(

) x－33－x22A.y＝log2

B.y＝log2

C.y＝log2

D.y＝log2

22x－33－x2－－解析:∵y＝21x＋3(x∈R),∴21x＝y－3, ∴1－x＝log2(y－3),即x＝1－log2(y－3)＝log2. y－3x

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∴y＝log22.故选A. x－3

D.2 (

) 112.设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),若ga－1＝,则a等于 411A.－2

B.－

C.

22x111－解析:因函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),所以g(x)＝2, 由ga－1＝, 得2＝22, 即4a－111＝－2,所以a＝. 2a－1－－－3.设a>0,a≠1,函数f(x)＝ax,g(x)＝bx的反函数分别是f1(x)和g1(x).若lg a＋lg b＝0,则f1(x)和g－1(x)的图象

(

A

) A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于原点对称

D.关于y＝x对称

1解析:由lg a＋lg b＝0,得a＝,所以函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象关于y轴对称,它们的反函数b的图象关于x轴对称. （四）课堂小结：

1.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.单调性相同

2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y＝f(x)中解出x; (3)x、y互换并注明反函数定义域. 3.反函数的定义域是原函数的值域,并不一定是使反函数有意义的所有x的集合. （五）课后作业：

1.反函数检测试卷

2.作业本：

（1）求函数

y11x2（1

2（2）已知f(x)= x-2x(x≥2),求f1(x).

六、教学反思

1、根据本节课的内容及学生的实际水平，采取问题引导式教学方法并充分发挥几何画板辅助教学作用。

2、电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。

3、在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现

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的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“怀疑”——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。

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