小结教学设计内容推荐

第一章

集合小结与复习

复习导航

考试要求

重难点击

命题展望

1. 集合的含义与表示

(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

2. 集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.

3. 集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

本章重点：

集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；

本章难点：

自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；

1. 考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；

2. 将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；

1

1. 1 集合及其运算

知识要点

1. 集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个

集合

，集合中的每个对象叫做这个集合的

元素

.

2. 集合中的元素具有三个特征：

确定性、互异性和无序性

.

3. 集合的表示方法有：

列举法、描述法和图示法

.

4. 按集合中元素的个数可将集合分为

有限集、无限集和空集

.

5. 特殊的集合一般用特定的大写字母表示：

实数集R，有理数集Q，整数集Z，自然数集N，正整数集N*(或N＋)

.

6. 元素a与集合A的关系是从属关系，a∈A表示元素a是集合A的元素，aA表示元素a不是集合A的元素；集合与集合之间是包含关系，A⊆B表示

集合A是集合B的子集

，AB表示

A是B的真子集

，集合A＝B⇔A⊆B且B⊆A，空集是任何集合的子集.

7. 集合A与B的交集表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，并集表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，若U为全集，则集合A的补集记为∁UA＝{x|x∈U，且xA}.

典例精析

题型一

集合中元素的性质

【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.

【解析】令a＋1＝－3⇒a＝－4，检验合格；

令a－3＝－3⇒a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；

令2a－1＝－3⇒a＝－1，检验合格；

而a2＋1≠－3；

故所求a的值为－1或－4.

【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性. 首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.

【变式训练1】已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数a的值.

【解析】由题知：a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，

所以a＝－1或－2或0.

根据元素的互异性排除－1，－2.

所以a＝0.

题型二

集合的基本运算

【例2】已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a.

【解析】由已知得A＝{3，5}.

1当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{}.

a1111要使B⊆A，则＝3或＝5，即a＝或.

aa3511综上，a＝0或或.

35【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.

【变式训练2】设集合A＝{x|2x2－5x－3＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m2

的取值集合.

1【解析】A＝{－，3}，

2①m＝0时，B＝，满足B

A；

1②m≠0时，B＝{－}，

m111所以－＝3或－

＝－，

mm21即m＝－或2.

31综上所述，实数m的集合为{0，－，2}.

3题型三

集合语言的运用

【例3】(2008天津)设集合S＝{x||x－2|＞3}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是(

) A. －3＜a＜－1

C. a≤－3或a≥－1

【解析】由|x－2|＞3得x＜－1或x＞5，

所以S＝{x|x＜－1或x＞5}.

因为T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R.

利用数轴易知a满足条件a＜－1且a＋8＞5.

所以－3＜a＜－1. 故选A.

【点拨】本题是一道考查集合关系与运算的基础题，同时也考查了简单的含有绝对值的不等式及一元一次不等式组的解法. 解决此类集合运算问题，应注意利用数轴来求解，特别要注意端点的取值.

B. －3≤a≤－1 D. a＜－3或a＞－1

总结提高

1. 元素与集合及集合与集合之间的关系

对于符号∈，和⊆，的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.

2. “数形结合”思想在集合运算中的运用

认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算的重要数学思想.

(1)要牢固掌握两个工具：韦恩图和数轴. 连续取值的数集运算一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理；

(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.

3. 处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容：如A⊆B，A∩B＝A，A∪B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论完成.

3

4