复习参考题优秀教案范文

函数模型的应用实例

三维目标定向

〖知识与技能〗掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。

〖过程与方法〗通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。

〖情感、态度与价值观〗通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。

教学重点与难点:函数模型的选取与求解。

教学过程设计

知识点1 常见的函数模型

(1)一次函数模型

y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 常

用

函

数

模

型

(6)分段函数

(2)二次函数模型

y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型

y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型

y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型

y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) ax＋bx

cx＋dx≥m

知识点2 解决函数应用问题的步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．

这些步骤用框图表示如图：

题型一

一次函数、二次函数模型

1.下表是弹簧伸长的长度d(N)与拉力f(cm)的相关数据. 180509000

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式. x/cm

F/N

考点：

14.2

1

28.8

2

41.3

3

57.5

4

70.2

5

函数解析式的求解及常用方法

分析：

【考点提示】

本题考查根据统计数据求解函数解析式，需确定该函数的类型；

【解题方法提示】

首先根据表格描点画出函数模型，由已知数据点近似地落在一条直线上，考虑以f=kd+b作为刻画长度与拉力的函数模型；

取两组数据代入模型，可得出解析式，最后检测模型与已知数据的拟合程度，发现拟合程度较好，解：画出函数图象，如下图所示可看出已知数据点近似地落在一条直线上.

可以考虑以x=kF+b作为刻画长度与拉力的函数模型. 取两组数据（1,14.2），（4,57.5），有{k+b=14.2

4k+b=57.5，

解得{k≈14.4

b≈−0.2. 将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好，说明它能较好地反映长度与拉力的关系. 故答案为x=14.4F-0.2. 则所求即为答案.

yax22.若用模型

来描述汽车紧急刹车后滑行的距离ym与刹车时的速度xkm/h的关系，而某种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m.在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，问这辆车是否超速行驶? 分析：

通过将汽车在速度为60km/h时紧急刹车后滑行的距离为20m代入模型可知yyax2

12x

180通过令x=50计算即得结论．

220a60解：依题意,

，

∴a1180

，

∴

y12x180

，

∵紧急刹车后滑行的距离为50m，

∴紧急刹车时的速度为

∵

180509000

，

900010000100

，

∴这辆车没有超速行驶。

答：这辆车没有超速行驶。

规律方法

利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．

题型二

分段函数模型

3.

某人开汽车沿一条直线以的速度从A地到远处的B地.在B地停留1h后,再以的速度返回A地,把汽车与A地的距离表示时间(从A地出发开始)的函数,并画出函数的图象. 分析：根据题意可将汽车与A地的距离xkm表示为时间t h的函数，车速v km/h表示为时间t h的函数，分别作图即可．

解：根据题意，汽车与A地的距离xkm表示为时间th（从A地出发时开始）的函数为：

图象如上。

车速表示为时间th的函数为：

图象如下图。

规律方法

应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

题型三

指数型函数、对数型函数模型

kxyce4.

设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的关系为

，其中c，k为常量，如果某游客从大气压为的海平面地区，到了海拔为2400m，大气压为的一个高原地区，感觉没有明显的高山反应，于是便准备攀登当地海拔为5596m的雪山，从身体需氧的角度出发（当大气压低于时，就会比较危险），分析这位游客的决定是否太冒险？

分析：

利用待定系数发求出k和c的值，进而计算出当x=5596时y的值与0.775×105Pa比较即可得到结论．

解：海平面地区的大气压为

当

时，

，

，

又当

时，

，

即

，

即

，

即

，

即

，

，

于是，当

时

，

故这位游客的决定是太冒险的决定。

6.一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药(精确到0.1h)?(参考数据：

lg2=0.30,lg3=0.48) 分析：

先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．

解：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，

依题意，可得500⩽2500×(1−20%)x⩽1500 整理，得15⩽(45)x⩽35，

∴log4535⩽x⩽log4515，

∴log4535=lg6−1lg8−1=lg2+lg3−13lg2−1≈2.2，

同理得log4515≈7.0，

解得：2.2⩽x⩽7.0，

答：应在用药2.2小时后及7.0小时前再向病人的血液补充药。

规律方法

指数型、对数型函数问题的类型及解法

(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．

(2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．

(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．

课堂小结

1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：

(1)利用给定的函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．

3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．

4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如图所示．