信息技术应用 收集数据并建立函数模型优秀教学实录

第5课时

函数模型的应用实例

1.进一步运用基本初等函数解决实际应用问题.

2.掌握求函数应用题的基本步骤,并运用待定系数法求函数解析式及运用配方法、分离常数法和函数单调性法求解实际问题中的最值.

3.能够根据实际问题中已有的数据建立拟合函数,解决实际问题.

前面我们学习了几种不同增长的函数模型,并重点学习了利用函数模型解决一些简单的实际问题.另外,在一些实际问题中,还会遇到对函数模型的灵活应用以及选择的问题,本节课就来研究这类问题.

问题1:写出常见的函数模型: (1)正比例函数模型,形如

; (2)反比例函数模型,形如

; (3)一次函数模型,形如

; (4)二次函数模型,形如

; (5)指数函数模型,形如

; (6)对数函数模型,形如

; (7)幂函数模型,形如

.

问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的? (2)在解决实际问题过程中,该如何做才能找到合适的数学模型? (1)一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题的

,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立

,在此基础上将

问题转化为一个

问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型.

(2)①

:建立直角坐标系,画出散点图; ②

:根据散点图设想比较接近的可能的函数模型.

例如:一次函数型、二次函数型、指数函数型、对数函数型.

③

:利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型.

问题3:(1)解函数应用问题的基本步骤是什么?(2)数学模型的实质是什么? (1)第一步:阅读理解,审清题意.

第二步:引进数学符号,建立

.

第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.

第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.

(2)数学模型是用

模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用数学语言来表达,数学模型可采用各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等.

问题4:什么是数据拟合? 所谓数据拟合,是指我们在通过一些数据寻求事物规律时,往往是通过给出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出函数的具体表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映的事物规律,这种方法叫作数据拟合.

用已知函数模型解决实际问题

有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为V m3,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量,都为r m3.现假设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与湖水能很好地混合.用g(t)表示经过时间t(天)后每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称其为经过时间t(天)后的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p克

- 的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式g(t)=+[g(0)-]

(p≥0),其中g(0)是湖水污染的初

始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数; (2)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?

分段函数模型的应用

WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元计费;超过500分钟则超过部分按0.15元/分钟计费.假如上网时间过短,在1分钟以下不计费,1分钟以上(包括1分钟,不超过60分钟)按0.5元/分钟计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.问: (1)小周12月份用WAP手机上网20小时,要付多少上网费? (2)小周10月份付了90元的上网费,那么他这个月用手机可以上多少个分钟的网? (3)你会选择WAP手机上网吗?若用电脑上网的收费为60元/月,你觉得选用哪一种方式上网更划算?

建立拟合函数模型解决实际问题

某地区今年1月、2月、3月份患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a、b、c、p、q、r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83,你认为谁选择的模型较好?

甲厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1-)元.

(1)求证:生产a kg该产品所获得的利润为100a(5+-

)元; (2)要使生产该产品900 kg时获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?最大利润是多少?

考题变式(我来改编):

第5课时

函数模型的应用实例

知识体系梳理

问题1:(1)y=kx(k≠0)

(2)y=(k≠0)

(3)y=kx+b(k≠0)

(4)y=ax2+bx+c(a≠0)

(5)y=k·ax+b(k≠0,a>0且a≠1)

(6)y=k·logax+b(k≠0,a>0且a≠1,x>0)

(7)y=k·xn+b(k≠0,x>0,n为常数) 问题2:(1)已知条件

关系式

实际

函数

(2)建系

初步选择函数模型

择优函数模型

问题3:(1)数学模型

(2)数学语言

重点难点探究

探究一:【解析】(1)∵g(t)为常数,∴g(0)-=0,

∴g(0)=

(p≥0).

(2)污染源停止,即p=0,此时g(t)=g(0)·

-

.

设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%, 即g(t)=5%·g(0),即有5%·g(0)=g(0)·

-

.

由实际意义知g(0)≠0,∴=

-

.

∴t=

ln 20,即需要

ln 20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.

【小结】在认真审题,读懂题意之后, 根据函数关系中的有关量的实际含义和取值范围解答实际问题.

探究二:【解析】设使用WAP手机上网的时间为x分钟,由已知条件可知:当1≤x≤60时,以0.5元/分钟计费;当60500时,在30元的基础上,超过500的部分按0.15元/分钟计费.故所付上网费为

y=

-

(1)当x=20×60=1200(分钟)时,应将1200代入第三段解析式,得y=135,即小周要付135元上网费.

(2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由函数解析式可得x=900,即小周这个月用手机可以上网900分钟.

(3)当1≤x≤60时,ymax≤30元;当60500时,令30+0.15(x-500)=60,则x=700.综上所述,若每月上网时间少于700分钟,则选用WAP手机上网;若等于700分钟,则选择两种上网方式都可以;若上网时间超过700分钟,则选用电脑上网.

【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,并将各段的变化规律分别用函数关系式表达出来,再将其合到一起.要注意各段自变量的范围,特别是端点值.

-

探究三:【解析】由

⇒

所以甲选择的函数模型为y=-x2+12x+41.

当x=4时,y=73;当x=5时,y=76;当x=6时,y=77.与实际结果相差较大.

由

⇒

-

所以乙选择的函数模型为y=-

x ×()+

.

当x=4时,y≈74;当x=5时,y≈78,当x=6时,y≈81.与实际结果非常接近.

因此乙选择的模型较好.

【小结】选择合适的拟合函数模型对解决实际问题并作出预测、判断、风险评估等具有实际意义.

全新视角拓展

【解析】(1)生产a kg该产品,所用的时间是

h, 所获得的利润为100(5x+1-)·(1≤x≤10).

所以生产a kg该产品所获得的利润为100a(5+-

)(1≤x≤10)元.

(2)生产900 kg该产品,所用的时间是记f(x)=-

++5,1≤x≤10, 则f(x)=-3(-)2++5, 当且仅当x=6时,f(x)取得最大值f(6)=.

获得的最大利润为90000×=457500元.

因此甲厂应以6 kg/h的速度生产,可获得最大利润457500元.

h,获得的利润为

90000(5+-

),1≤x≤10.

思维导图构建

建系

求出函数模型

检验

检验