习题3.2ppt课件课堂实录

3.2.1

几类不同增长的函数模型

●三维目标

1．知识与技能

在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．

2．过程与方法

(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；

(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．

3．情感、态度与价值观

体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．

二、重点与难点

重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．

难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．

重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．

在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝ax(a＞1)、对数函数y＝logax(a＞1)、幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．

1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．(重点) 课标解读

2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及三种函数模型的性质的比较．(易混点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)

知识1

三类函数增长速度的比较

【问题导思】

函数y＝2x，y＝log2x及y＝x2的图象如图所示.

1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？

【提示】

y＝x2. 2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？

【提示】

y＝2x. 3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？

【提示】

存在．

1．三种函数模型的性质

函数

性质

在(0，＋∞)上的增减性

图象的变化

y＝ax(a>1)

单调递增

随x增大逐渐变陡

y＝logax(a>1)

单调递增

随x增大逐渐变缓

y＝xn(n>0) 单调递增

随n值而不同

2.三种函数的增长速度比较

(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．

(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．

(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax

函数模型的增长差异

例1

研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．

【思路探究】

解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．

【自主解答】

分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x20－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)

规律方法

1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变

化量的情况判断．

2．三种函数模型的表达形式及其增长特点

(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．

(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．

(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．

变式训练

三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：

x y1

y2

y3

1

5

5

5

3

135

29

6.10

5

625

245

6.61

7

1 715

2 189

6.95

9

3 645

19 685

7.2

11 6 655 177 149 7.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(

) A．y1，y2，y3

C．y3，y2，y1

B．y2，y1，y3

D．y1，y3，y2

【解析】

通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C. 【答案】

C 类型2

根据函数增长差异确定图象并比较大小

例2

函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012) 的大小．

【思路探究】

根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．

【自主解答】

(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，

∴1x2.

从图象上可以看出，当x1

∴f(6)x2时，f(x)>g(x)，∴f(2012)>g(2012)．

又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．

规律方法

1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．

2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．

互动探究

本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．

【解】

a＝1，b＝9.理由如下：

令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9. 类型3

根据函数增长差异选择函数模型

例3

某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

【思路探究】

作出函数图象→观察图象得到结论

【自主解答】

借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．

规律方法

不同的函数增长模型描述增长速度的差异：

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；

(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．

变式训练

某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为(

) A．B，A，C

C．A，B，C

B．A，C，B

D．C，A，B

51.4－50【解析】

A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为，所以501＋51.4－502≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利100元一年到期的本息和为100×50100－97100－97率为，100元一年到期的本息和为1001＋≈103.09(元)，收益为3.09元．

9797【答案】

B 数形结合思想在函数中的应用

典例

(12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)

图3－2－2 (1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？

【思路点拨】

两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．

【规范解答】

由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500，168)，MN∥CD.1分

设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，

x则fA(x)＝3x10x＋xfB(x)＝3，x10x＋

3分

(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分

33(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，6分

1010所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分

(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)

当x>500时，fA(x)>fB(x).9分

3880当60fA(x)；当≤x≤500时，fA(x)>fB(x).11分

33880，＋∞时，方案B才会比方案A优惠.12分

即当通话时间在3思维启迪

1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．

2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．

课堂小结

1．直线上升、指数爆炸、对数增长

对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．

2．函数模型选取的择优意识

解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．

3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．

当堂检测

1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(

) A．y＝1 C．y＝3x

B．y＝x

D．y＝log3x

【解析】

结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x. 【答案】

C

2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(

) A．一次函数

C．指数型函数

B．二次函数

D．对数型函数

【解析】

结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D. 【答案】

D 3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

x y1

y2

y3

y4

0

5

5

5

5

5

130

94.478

30

2.310 7

10

505

1 785.2

55

1.429 5

15

1 130

33 733

80

1.140 7

20

2 005

6.37×105

105

1.046 1

25

3 130

1.2×107

130

1.015 1

30 4 505 2.28×108

155 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是________．

【解析】

指数型函数呈“爆炸式”增长．

从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2. 【答案】

y2

4．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．

图3－2－3 (1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；

(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．

【解】

(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx. (2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x). 课后检测

一、选择题

1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(

) A．f1(x)＝x2

C．f3(x)＝log2x

B．f2(x)＝4x

D．f4(x)＝2x

【解析】

显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D. 【答案】

D 2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是(

)

图3－2－4 A．310元

C．290 B．300元

D．280元

【解析】

由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，

∴当x＝0时，y＝300. 【答案】

B 3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是(

)

【解析】

观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C. 【答案】

C 4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(

) 1A．2x>x>lgx

21C．x>2x>lgx

21【解析】

如图所示，由图可知当x∈(0,1)时，2x>x>lgx. 21B．2x>lgx>x

21D．lgx>x>2x

2

【答案】

A 5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(

)

A．y＝0.2x

2xC．y＝

10【解析】

取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．

【答案】

C 二、填空题

6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．

1B．y＝x2＋2x

10D．y＝0.2＋log16x

【解析】

如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．

【答案】

3 7．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．

【解析】

由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax

logax

8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3－2－5所示．现给出下列说法：

图3－2－5 ①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．

其中正确的说法是________．(填序号) 【解析】

因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．

【答案】

②④

三、解答题

19．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关4系．

【解】

函数f(x)与g(x)的图象如下．

根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；

当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)

10．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图3－2－6(1)、图(2)所示．

图(1)

图(2) 图3－2－6 (1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．

【解】

(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，

11把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝. 5211∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．

52112(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96. 5232当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；

3

2当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；

32当x>96时，y1

311．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：

(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；

(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

【解】

设工厂生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，

y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x. (1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，

∵y1

(2)当x＝6 000时，y1＝114 000，y2＝108 000，

∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水.