阅读与思考 中外历史上的方程求解教学目标

函数与方程的思想教学设计

信阳市一高

朱

盈

函数与方程思想一直是高考的重点内容之一，在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等。本教学设计通过追溯课本,明确思想；体验高考,建构思想；典例分析,深化思想；错误剖析,反思思想；课题小结，完善思想；反馈练习，应用思想六个环节来参悟函数与方程思想，让学生恰当的设方程，建函数，能有意识的应用函数与方程思想解题，明确知识间的内在联系，提高思维的深刻性与思辨性，体验数学的理性美。

考情分析

纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、函数知识与其余知识的综合应用以及函数与方程思想等的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在. 在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论，（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质；（4）构造方程求解. 学情分析：经过第一轮复习，学生基本掌握了有关函数与方程的一些基础知识，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、图象变换等，系统的学习了如一次函数，二次函数，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及定义在正整数集或子集上的特殊函数（如数列）等的图像与

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性质，并在学习函数知识的同时，对方程也有一定的体会，但是部分学生对函数与方程思想的认知，感悟，应用还是零散的，片段式的，不能从学科整体角度和思维价值方面去把握，针对性不强，不能从提纲挈领的去解决问题，特别是构造函数与方程的创新意识与实践能力不强. 教学目标

知识与技能

理解函数与方程思想含义及蕴涵的一般解题思路，恰当的设方程，建函数，能有意识的应用函数与方程思想解题. 过程与方法

通过回归课本,并从不等式、解析几何、立体几何、导数、数列等方面知识交汇点处的典例分析，使学生感悟和反思函数与方程思想，打通知识间的内在联系，提高思维的深刻性与思辨性. 情感态度和价值观

通过复习整理,使学生对函数与方程思想有一个全面的认知,体验数学的理性美. 教学的重点与难点

重点：借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，并构造函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型,以及利用方程或方程组的观点观察处理有关参数的取值范围等问题；感受函数与方程思想,提高函数与方程思想的应用能力. 难点：函数与方程思想的理解和应用.

教学过程设计

一．自主检测

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1．利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根：

2x3x50

（1）（2）2x(x2)3

22(x2)(x3x2)0

（3）

2．当2x2时，求下列函数的最大值和最小值：

2（1）yx2x3

2yxx1

（2）

3．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.求数列{an}的通项公式。

二．思考交流

若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。

小结：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造以待求变量为元的方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。

三．问题探究

若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________．

分析：将方程变形为m＝－cos2x＋2cosx，则当方程有实数根时，－cos2x＋2cosx的取值范围就是m的取值范围．

3

解：原方程可化为m＝－cos2x＋2cosx. 令f(x)＝－cos2x＋2cosx，

则2cosx

123cosx－＝－22＋2，

f(x)＝－2cos2x＋1＋由于－1≤cosx≤1，

1所以当cosx＝2时，f(x)取3得最大值2，

当cosx＝－1时，f(x)取得最小值－3，

故函数3f(x)的值域为－3，2，



即3m∈－3，2. 

四．能力提升

对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px>4x＋p－3恒成立的x的取值范围是________．

解析：x2＋px>4x＋p－3对于0≤p≤4恒成立可以变形为x2－4x＋3＋p(x－1)>0对于0≤p≤4恒成立，所以一次函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3在区间[0,4]上的最小值大于0

小结：充分应用题设的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求值域。

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五．反馈训练

ln2ln3ln5若a，b，c，则（ ）2351．

(A) abc (B) abc(C) cab (D) bca

2yxaxb的定义域为[1，2]，则ab的值为（

）

2．若函数

A．1

B．2

C．1

D．2

13．已知数列{an}满足an－an＝2n(n∈N*)，且an>0. 求数列{an}的通项公式

。

24．若关于x的不等式

cosxsinxa0在区间[0，2]上有解，则a的取值范围是

。

x2y221 (ab0)25．已知椭圆ab上有一点M，F1、F2是椭圆上的两个焦点，若2FF2b21|M| |M|=，则椭圆离心率e的取值范围为

。

六、课堂小结

我们在解答问题时，没有函数有时需构造函数，再利用函数的性质、导数及方程的思想来解题；没有方程我们需构造方程，再利用方程知识解决问题。

七、课后作业

《金版教程》

第一部分

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教学反思：

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内

容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，教学就要取得成功的确不易，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。

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