习题2.2教学内容

2017-2018学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.

-330°是（

）

A. 第一象限角

B. 第二象限角

C. 第三象限角

2.

若角α的终边经过点P（4，-3），则cosα=（

）

D. 第四象限角

D.

A.

B.

C.

=（1，-2），

∥ 3.

平面向量

=（-2，x），若

，则x=（

）

A.

B. 1

C.

D. 4

4.

下列各组向量中，能作为基底的一组是（

）

A.

B.

，

，

C.

D.

，

，

2-cos215°5.

sin15°的值为（

）

A.

B.

C.

D.

6.

在△ABC中，下列等式一定成立的是（

）

A.

B.

C.

D.

7.

为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数

（

）

A. 向左平移

个单位长度

C. 向左平移 个单位长度

B. 向右平移

个单位长度

D. 向右平移 个单位长度

的是A，B，C，D是平面内不同的5个点，8.

已知O，下列各式化简后不等于

（

）

D. A.

B.

C.

9.

函数y=sin（2x-

）的单调递增区间是（

）

A.

C.

A.

B.

D.

C.

10.

函数f（x）=|tanx|的最小正周期是（

）

B.

D.

4411.

已知sinθ+cosθ=

，则sin2θ=（

）

A.

B.

C.

D.

，

，AD与BE的交点为G，12.

已知AD为△ABC的中线，设 则λ=（

）

=2

=λ

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

13.

已知扇形的圆心角为α，它的弧长为半径的2倍，则α=______．

=（3，4），

-

，则m=______．

14.

已知

=（8，m），若（

）⊥ 第1页，共13页

15.

已知tan（α+β）=

，tan（β-

）=

，则tan（α+

）=______．

•=，则角A的大小是______．

16.

在△ABC中，已知

217.

函数y=

+lg（16-x）的定义域为______．

三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）

18.

（Ⅰ）计算：cos（-

）；

2（Ⅱ）当tanα=2时，求3sinα+sinαcosα的值．

19.

已知三点A（2，1），B（4，3），D（0，3）．

（Ⅰ）求证：AB⊥AD；

|．

（Ⅱ）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及|

20.

已知α，β都是锐角，且sinα= ，cos（α+β）=

．

（Ⅰ）求cosα及sin（α+β）的值；

（Ⅱ）求cosβ的值．

=（sinx，sinx），

=（sinx，cosx），

=（-1，0）．

21.

已知向量

与

的夹角；

（Ⅰ）当x=

时，求向量

• （Ⅱ）设函数f（x）=

-

，请在给定的坐标系中用五点作图法作出f（x）一个周期内的图象．

第2页，共13页

22.

（Ⅰ）已知sinα+cosα=m，求sin2α．

（Ⅱ）已知函数y=sinx+cosx+asinxcosx，（a＞0）的最大值为1+

，求a的值．

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答案和解析

1.【答案】A 【解析】

=-360°+30°解：∵-330°，

与-330°是终边相同的角，而30°位于第一象限，

∴30°是第一象限角．

∴-330°故选：A．

=-360°+30°由于-330°，利用终边相同角的关系式即可得到答案．

本题考查终边相同的角，关键在于掌握终边相同角的函数关系式，属于基础题．

2.【答案】C 【解析】

解：∵知角a的终边经过点P（4，-3），

∴cosa=故选：C．

由三角函数的定义可求得cosa 本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

3.【答案】D 【解析】

=，

解：∵∥，∴-2×（-2）-x=0，解得x=4．

故选：D．

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.【答案】B 【解析】

解：根据题意得，A，C，D选项中两向量共线不能作为基底，B项中两向量不共线，可以作为基底，

故选：B．

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判断两向量不共线即可作为基底．

本题考查平面向量基本定理．

5.【答案】C 【解析】

2-cos215°=-（cos215°-sin215°=-解：sin15°）=-cos30°，

故选：C．

由条件利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．

本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．

6.【答案】C 【解析】

解：在△ABC中，有A+B+C=π，

∴sin（A+B）=sinC，故A错误；

cos（A+B）=-cosC，故B错误；

cossin=cos（=sin（）=sin）=cos，故C正确；

，故D错误．

∴等式一定成立的是C．

故选：C．

由已知可得A+B+C=π，结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项得答案．

本题考查诱导公式的应用，是基础的计算题．

7.【答案】C 【解析】

解：为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数位长度，

故选：C．

利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

向左平移个单本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

8.【答案】C 【解析】

-+=+=解：A.；

B.++=+=；

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C.D.2（++-=2）=2++；

=

故答案为C；

故选：C．

运用向量的加减运算和数乘运算可得结果．

本题考查向量的运算及选择题的解法．

9.【答案】B 【解析】

解：函数y=sin（2x--+2kπ）的单调递增区间满足：

+2kπ，k

Z，

，k

Z，

）的单调递增区间是：

解得∴函数y=sin（2x-[kπ-，kπ+]（k

Z）．

故选：B．

函数y=sin（2x-）的单调递增区间满足-+2kπ+2kπ，k

Z，由此能求出函数y=sin（2x-）的单调递增区间．

本题考查正弦函数的单调增区间的求法，考查正弦函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

10.【答案】A 【解析】

解：函数y=tanx通过吧x轴下部分翻折后可得函数f（x）=|tanx|的图象；

翻折后，可得函数f（x）=|tanx|的周期与函数y=tanx相同．

∴函数f（x）=|tanx|的最小正周期是π．

故选：A．

根据图象的翻折，可得f（x）=|tanx|的图象，即可得周期．

本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．

11.【答案】B 【解析】

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44解：由sinθ+cosθ=，得，

即∴故选：B．

，

，即sin2θ=．

2把等式左边变形，求得sin2θ，开方得答案．

本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．

12.【答案】D 【解析】

解法一：如图所示，

AD为△ABC的中线，∴又=2，∴==（；

+），

又B、G、E三点共线，

∴又∴x=x=λ+（1-x），∴===x+（1-x），

+，

；

+（1-x）∴，解得λ=4．

解法二：根据题意画出图形，如图所示；

第7页，共13页

取AE的中点F，过点F作FH∥EG，交AD于H，

过点C作CM∥EG，交AD的延长线于点M，

由=2知=2，

又D为BC的中点，∴D为GM的中点，

=4∴∴λ=4．

故选：D．

解法一：根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示以及共线定理，即可求得λ的值．

解法二：利用数形结合法，画出图形，容易得出AG和GD的数量关系．

本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，是基础题．

13.【答案】2 【解析】

，

解：由题意可得：2r=r•α，解得α=2．

故答案为：2．

利用弧长公式即可得出．

本题考查了弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14.【答案】

【解析】

解：∵=（3，4），=（8，m），

=（-5，4-m），

∴∵（-）⊥，

3+（4-m）×4=0 ∴-5×∴4m=1，

∴m=．

故答案为：．

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由已知求出范围．

的坐标，然后根据向量数量积的性质的坐标表示可求m的本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题．

15.【答案】

【解析】

解：∵tan（α+β）=，tan（β-∴tan（α+）=tan[（α+β）-（β-）=，

）]===．

故答案为：．

由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解．

本题主要考查了两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

16.【答案】

【解析】

解：在△ABC中，∵已知故答案为：．

•=，∴1×1×cosA=，∴A=，

由题意利用两个单位向量的数量积的定义，求得cosA的值，可得A的值．

本题主要考查单位向量，两个向量的数量积的定义，属于基础题．

17.【答案】[-4，-

]∪[

，

π]

【解析】

解：由题意得：

，

解得：≤x≤或-4≤x≤-，

]∪[，π]．

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故函数的定义域是[-4，-故答案为：[-4，-]∪[，π]，

根据二次根式的性质以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．

本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题．

18.【答案】解：（Ⅰ）cos（-（Ⅱ）由tanα=2，

2得3sinα+sinαcosα=

）=cos

=cos

=

；

=

．

【解析】

（Ⅰ）直接利用诱导公式化简求值；

（Ⅱ）由tanα=2，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．

19.【答案】证明：（Ⅰ）∵三点A（2，1），B（4，3），D（0，3）．

=（-2，2），

∴ =（2，2），

=4-4=0，

∴ •

∴AB⊥AD．

（Ⅱ）设C（x，y），

⊥

，四边形ABCD为矩形，

∵ =（-2，-2）， =（x-4，y-3）， =（2，-2）， =（x+2，y-2），

∴

=-2（x-4）-2（y-3）=0，且

=2（x+2）-2（y-2），

解得x=-

，y=

，

∴点C的坐标C（-

，

）．

|=

=

．

|

【解析】

（Ⅰ）求出AB⊥AD．

（Ⅱ）设C（x，y），则y-2），由点C的坐标和|=（-2，-2），=（x-4，y-3），=（2，-2），=（x+2，=（2，2），=（-2，2），从而•=4-4=0，由此能证明=-2（x-4）-2（y-3）=0，且|．

=2（x+2）-2（y-2），由此能求出本题考查向量垂直的证明，考查点的坐标和两点间距离的求法，考查向量垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

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20.【答案】解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，

∴0＜α+β＜π

∵sinα= ，

∴cosα=

= ，

∵cos（α+β）=

，

∴sin（α+β）=

=

，

+×=．

（Ⅱ）cosβ=cos（α+β-α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=

×

【解析】

（Ⅰ）根据同角的三角函数关系即可求出，

（Ⅱ）cosβ=cos（α+β-α），根据两角差的余弦公式即可求出．

本题考查了同角的三角函数关系和两角差的余弦公式，属于基础题

=（sin

，cos

）=（

，

），

21.【答案】解：（Ⅰ）当x=

时，向量

=（-1，0），

又∵

=-

，|

|=|

|=1，

∴

=-

，

＞= ∴cos＜

，

，

的夹角为

；

∴向量

2

• （Ⅱ）由题意可得函数f（x）=

-

=sinx+sinxcosx-

=

（sin2x-cos2x）=sin（2x-

），

用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；

先列表，

x

2x-

sin（2x-

）

y

0

0

0

1

π

0

0

-1

-

2π

0

0

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后描点并画图如下：

【解析】

（Ⅰ）把x=代入可得向量=（，），由向量的夹角公式可得；

（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象．

本题考查平面向量的数量积，涉及向量的夹角和三角函数的运算，考查了五点作图法，属于中档题．

22.【答案】解：（Ⅰ）∵sinα+cosα=m，

22∴（sinα+cosα）=m，

2即1+sin2α=m，

2∴sin2α=m-1；

（Ⅱ）令t=sinx+cosx=

sin（x+

），则t

[-

，

]，

22又t=（sinα+cosα）=1+2sinxcosx，

∴sinxcosx=

，

=

（t+

）2-，

y=sinx+cosx+asinxcosx=t+a•∵a＞0，

∴对称轴t=-

＜0，

又t

[-

，

]，

∴当t=

是，ymax=

+解得a=2 【解析】

=1+

，

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（Ⅰ）根据平方关系即可求出，

（Ⅱ）令t=sinx+cosx=sin（x+），则t

[-+，=1+]，则可得到y=（t+）2-，问题得以解决

，根据二次函数的性质可得本题考查了三角函数的化简和求值，以及二次函数的最值的问题，考查了转化能力和运算能力，属于中档题

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