习题2.3公开课教学设计模版

第二章

基本初等函数

2．3幂函数（2课时）

一、内容及其解析

本节课学习的内容指的是幂函数，其核心是使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质．其教学重点一是幂函数的定义；二是幂函数的图象与性质．研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数，如yx、yx及yx的图象研究归纳2312yx(n0)的图象特征和函数性质，通过对幂函数yx、yx及yx的图象研nyx(n0)的图象特征和函数性质．究归纳教学难点一是幂函数与指数函数定义是有区n2312别的，学生容易混淆．二是幂函数的定义域与图象是复杂多变的，要根据指数的具体情况而定．

二、目标及其解析

目标定位：

1.理解幂函数的概念；

2.能够通过图象研究幂函数的性质.

目标解析：

1.定位1指的是一般地，函数yxn叫做幂函数，其中x是自变量，n是常数；

2.定位2指的是函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型等.

学习时应该注意：⑴

研究幂函数的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分数形式再去进行讨论；⑵

对于幂函数yxn，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n＜0，0＜n＜1和n＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即n＞0（n≠1）时图象是抛物线型；n＜0时图象是双曲线型；n＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n＜1时图象是横卧抛物线型．

运用幂函数的性质比较函数值的大小，若底数不同，指数相同，则用幂函数的性质即可作出判断，若底数相同，指数不同，则用指数函数的性质来作出判断．解题的时候要特别注意灵活的使用幂函数的图象和性质．

[来源学科网ZXXK]三、问题诊断分析

四、教学过程设计

问题1：写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性．并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？

（设计及意图：通过画出一下各图，分析函数图像，并引伸出什么是幂函数？）

⑴y＝x；⑵y＝x；⑶y＝x；⑷y＝x．

1-1．分数指数幂可以与根式相互转化的公式是什么？

12132353

（设计意图：让学生做题前把各函数解析式先化成根式形式）

1-2．仿照问题一中的函数研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？

⑴y＝x1；⑵y＝x2；⑶y＝x－－－12；⑷y＝x－13．

分析：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．

问题2：幂函数图象特征有哪些？根据幂函数的图像特征总结归纳幂函数的性质？

qa＝p

p、q互质

a＜0 y

O

x y 0＜a＜1 y

O

x y

O

x y

O

[来源:Zxxk.Com]a＞1 y

O

x y

O

x y

O

x [来源学科网][来源学§科§网Z§X§X§K]p，q都是奇数

p是奇数

q是偶数

p是偶数

q是奇数

O

x y

O

[来源:Zxxk.Com]

x x

①a＞0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而上升，函数在区间0,上是单调增函数．当a＜0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而下降，函数在区间0,上是单调减函数；

②除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；

③任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点；

④a＞0时幂函数图象总过原点，a≤0时，幂函数图象不过原点．

例题分析

例1．讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：

⑴

yx

yx

【分析】

根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性，单调性．由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升．

例2．比较下列各题中两个值的大小．

⑴(－1.5)与(－1.7) 2525543

⑵

3.1423与π23



⑶(－5)与(－6)

⑷

3与2

【分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间．

【评注】学生学习了幂函数以后,关键还在于对其性质要会灵活运用,例4是做一个基本的铺垫．

例3．n取不同的有理数时，讨论幂函数y＝x的定义域．

【分析】

幂函数y＝x定义域不一定是R其定义域要依据n的具体情况而定，当n＜0时，定义域中必不会有0．

【评注】学习幂函数第1课时里研究了特殊的幂函数的定义域的问题，这里要求学生进一步研究一般的幂函数的定义域的问题，这是一种由由特殊到一般的思想方法，由特殊到一般是数学里经常采用的思想方法，通过这道题可以体会这一思想方法．

2m2m3(0,)上是减函数，f(x)(mm1)x例4．如果函数是幂函数，且在区间求满足条件的实数m的集合．

213131421nn【分析】

我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在(0,)上是减函数．由yx幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数．x的系数只能(0,)上是减函数，由幂函数的性质可是１，从而得到mm11；又由于该幂函数在2知，0，即m2m30．由以上两条可求出满足所求的m的范围．

例5．已知(x3)(12x)，求x的取值范围．

【分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．

【评注】本题实质上是解不等式(x3)1313132(12x)，由于不等式的左右两边的幂指13113yx3数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解．

正确思路是数形结合思想的运用．利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式．

五、本课小结

（1）学习了基本的幂函数以及幂函数的定义；

（2）基本的幂函数的图象以及幂函数的相关性质.

六、配餐练习

A组

1[,2]1．函数yx在区间2上的最大值是

2

（ ）

1A．4

B．1

C．4

D．4

2．下列所给出的函数中，是幂函数的是

3yxA．

43

3y2xC．

3yx1

D．（ ）

3yxB．

3．函数yx的图象是

（ ）

A． B． C． D．

4．下列命题中正确的是

（ ）

yx0A．当时函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点

C．若幂函数yx是奇函数，则yx是定义域上的增函数

D．幂函数的图象不可能出现在第四象限

135．函数yx和yx图象满足

A．关于原点对称 C．关于6．

函数3

B．关于x轴对称

D．关于直线

（ ）

y轴对称 yx对称

（ ）

yx|x|,xR，满足

A．是奇函数又是减函数 C．是奇函数又是增函数 B．是偶函数又是增函数

D．是偶函数又是减函数

（ ）

2yx2x24的单调递减区间是

7．函数A．(,6] a24a9B．[6,) C．(,1] D．[1,)

B组

9．yx是偶函数，且在(1)knm(0,)是减函数，则整数a的值是 . k,m,n的(m,n,kN*,m,n互质)图象在一、10．幂函数yx二象限，不过原点，则奇偶性为 .