习题3.1教学实录及点评

2.8

函数与方程

[知识梳理] 1．函数的零点

(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)三个等价关系

(3)存在性定理

2．一元二次方程根的分布情况

设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a>0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且m

3．二分法

(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；

②求区间(a，b)的中点c；

③计算f(c) a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

b．若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

c．若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④. [诊断自测] 1．概念思辨

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(

) (3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(

) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似

值．(

) 答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

2．教材衍化

(1)(必修A1P88T2)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(

) 11A.4，2

1B.－4，0

13D.2，4

10，C.4

答案

A 解析

∵函数f(x)＝ex＋4x－3，

∴f′(x)＝ex＋4>0，

∴函数f(x)＝ex＋4x－3在(－∞，＋∞)上为增函数，且f(0)＝e0－3＝－2<0，

1444f4＝e－2＝e－16<0，

1f2＝e－1>0，

11∴f2·f4<0，

11∴函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为4，2，故选A. (2)(必修A1P92T2)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表：

x f(x)

则函数f(x)存在零点的区间有(

) A．区间[2,3]和[3,4] 8

1

－223

3

－455668

B．区间[3,4]、[4,5]和[5,6] C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[1,2]、[2,3]和[3,4] 答案

D 解析

由已知条件可得：

f(1)＝－8<0，f(2)＝2>0，f(3)＝

－3<0，f(4)＝5>0. 可得f(1)·f(2)<0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，函数f(x)的图象是连续不断的，由零点判定定理可知：函数的零点在区间[1,2]、[2,3]和[3,4]．故选D. 3．小题热身

(1)(2013·重庆高考)若a

) A．(a，b)和(b，c)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

答案

A 解析

∵a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

由函数零点存在判定定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点；

又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，

因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．故选A. 6(2)已知函数f(x)＝x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,4)

D．(4，＋∞) 答案

C 解析

易知f(x)是单调递减函数．∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝633－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝4－log24＝2－2<0，∴选项B．(－∞，a)和(a，b)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

中包含f(x)零点的区间是(2,4)．故选C.

题型1

函数零点所在区间的判断

(2017·乌鲁木齐一模)函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在典例1的一个区间是(

) 1311A.－2，0

B.0，2

C.2，1

D.1，2

本题用定义法．

答案

C 解析

1x－2

已知函数f(x)＝ln x－2的零点为x0，则x0所在的典例2区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4) 用定义法或数形结合法．

答案

C 1x－2解析

解法一：∵f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上是增函数．



1－1又f(1)＝ln 1－2＝－2<0，

11f(2)＝ln 2－20＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－2>0. 故f(x)的零点x0∈(2,3)．故选C. 1x－2解法二：由f(x)＝0得ln x＝2. 1作h(x)＝ln x，g(x)＝2x－2的图象，如图．



由图象可知x0∈(2,3)．故选C. 方法技巧

判断函数零点所在区间的三种方法

1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．

2．定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．见典例1,2. 3．图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．见典例2.

冲关针对训练

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

)

A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4) 答案

B 解析

解法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：

可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B. 解法二：易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．故选B. 2，x≥2，2．(2018·福州质检)已知f(x)＝xx－13，x<2，－k有两个零点，则两零点所在的区间为(

)

若函数g(x)＝f(x)A．(－∞，0)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(1，＋∞) 答案

D 解析

在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图，由图易得若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，则k的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，＋∞)内，故选D.

题型2

函数零点个数的判定

函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(

) 典例1A．1

B．2

C．3

D．4 本题用数形结合法．

答案

B 1x解析

令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0，得|log0.5x|＝2. x

1设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝2x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)．由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.

(2017·郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周典例2

期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)在区间[－4,4]上的零点个数为(

) A．8

B．9

C．10

D．11 本题用数形结合法．

答案

B 解析

画出函数图象，可知y＝f(x)在区间[－4,4]与x轴有9个交点，故选B.

[条件探究]

若典例2的条件变为：f(x)是定义域为R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，x∈(0,2)时，f(x)＝2x2－3x＋1，则函数f(x)在[－4,4]上有几个零点？

解

因为f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0.又函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝0，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(0)＝0，f(4)＝0，f(－4)＝0.当x∈(0,2)时，令f(x)＝2x2－3x＋1＝0，111得x＝2或x＝1，即f(1)＝0，f2＝0.所以f(－1)＝0，f－2＝0，所以77f(3)＝0，f2＝0，f(－3)＝0，f－2＝0.综上，函数f(x)在[－4,4]上有13个零点．

方法技巧

确定函数零点个数的方法及思路

1．解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．见典例1,2. 提醒：用数形结合法确定零点个数时，关键是准确画出函数的图象，前提是熟悉基本初等函数的图象画法．

冲关针对训练

1．(2017·西城区模拟)函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

C 解析

函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数，

即为函数y＝－2x的图象和函数y＝log2|x|的图象的交点个数．如图所示：

数形结合可得，

函数y＝－2x的图象和函数y＝log2|x|的图象的交点个数为2，故选C. 2．(2018·山东实验中学诊断)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝lg x，x>0，f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝1－x，x<0，函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为(

) A．6

B．7

C．8

D．9 答案

C 解析

因为函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2的周期函数．又x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，所以作出函数y＝f(x)(x∈R)与y＝g(x)的图象．

由图知，函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为8.故选C.

则

题型3

函数零点的应用

角度1

已知函数零点所在区间求参数的取值范围

典例1－3，x∈－1，0]，已知函数f(x)＝x＋1x，x∈0，1]，

且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(

)

19A.－4，－2∪0，2

29C.－4，－2∪0，3

111B.－4，－2∪0，2

211D.－4，－2∪0，3

用数形结合法(或用分离系数法)．

答案

A 解析

由题意画出f(x)的图象，如图所示．令g(x)＝f(x)－mx－m＝0，得f(x)＝m(x＋1)，

所以g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m(x＋1)的图象在(－1,1]上有且仅有两个不同的交点．

y＝m(x＋1)是过定点(－1,0)的一条直线，m是其斜率．

由数形结合知，符合题意的直线位于l1(x轴)与l2之间和l3与l4(切线)之间．

1因为l4与y＝f(x)相切，所以－3＝m(x＋1)有两个相等的实根，x＋1即m(x＋1)2＋3(x＋1)－1＝0有两个相等的实根，即Δ＝9＋4m＝0，9解得m＝－4. 1设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，易求k1＝0，k2＝2，19－，－20，k3＝－2，所以m∈4∪2.故选A. 

角度2

已知函数零点个数求参数的取值范围

(2018·沈阳模拟)已知函数f(x)＝

典例2－|x|，x≤2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)2x－2，x>2，

－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(

) 7A.4，＋∞

7B.－∞，4

7D.4，2

7C.0，4

用数形结合法．

答案

D 解析

由y＝f(x)－g(x)＝0得f(x)＋f(2－x)＝b，设F(x)＝f(x)＋f(2－x)，则F(2－x)＝f(2－x)＋f(x)，所以F(2－x)＝F(x)，F(x)关于直线x＝1对称．当0

角度3

利用函数零点比较大小

(2018·广州一模)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝典例ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式成立的是(

) A．f(a)

C．f(1)

B．f(a)

答案

A 解析

函数f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，

且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，

g(1)＝－1<0，g(e)＝e－1>0，

所以a∈(0,1)，b∈(1，e)，即a<1

所以f(a)

已知函数有零点(方程有根)，求参数的取值常用的方法

1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

2．分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．

3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．见角度1,2典例．

冲关针对训练

11．(2018·昆明统考)已知函数f(x)满足f(x)＝fx，当x∈[1,3]时，1，3f(x)＝ln x，若在区间3内，曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同

的交点，则实数a的取值范围是(

) 1A.0，e

ln 31C.3，e

1B.0，2e

ln 31D.3，2e

答案

C 111，1解析

当x∈3时，x∈[1,3]，f(x)＝fx＝

ln x，x∈[1，3]，－ln x，所以f(x)＝1，－ln x，x∈3，1

作出其图象，

如图所示．设x∈[1,3]时，直线y＝ax与y＝ln x的图象相切，其111切点为(x0，y0)，则x＝a，所以x0＝a，所以y0＝1，所以1＝ln a，所01ln 3以a＝e.又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为3，可知曲线g(x)＝f(x)ln 31－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是3，e.故选C. 2．(2017·湖北二模)已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则(

) A．a

B．a

C．b

D．b

答案

A 解析

作出y＝2x，y＝log2x，y＝－x－1的图象，如图．

令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0

令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2，显然a

1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(

) 111A．－2

B.3

C.2

D．1 答案

C 解析

f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，

令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(e＋et－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，

∴函数g(t)为偶函数．

∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．

又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，

1∴2a－1＝0，解得a＝2.故选C. 2．(2017·山东高考)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(

) A．(0,1]∪[23，＋∞)

C．(0，2]∪[23，＋∞)

答案

B B．(0,1]∪[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)

解析

在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝12mx－m与g(x)＝x＋m的大致图象．

2分两种情形：

1(1)当0＜m≤1时，m≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；

1

(2)当m＞1时，0＜m＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．

综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B. 3．(2017·南昌十校二模)已知函数f(x)＝－2x2＋1，函数g(x)＝log2x＋1，x>0，x则函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数为(

) 2，x≤0，

A．3

B．4

C．5

D．6 答案

C 解析

函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数，即|f(x)|－g(x)＝0的根的个数，可得|f(x)|＝g(x)，画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图所示，观察函数的图象，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5，选C.

2x＋1，x≤0，4．(2017·山西监测)已知f(x)＝则方程f[f(x)]＝3|ln x|，x>0，

的根的个数是(

) A．6

B．5

C．4

D．3 答案

B 解析

令f(x)＝t，则方程f

[f(x)]＝3即为f(t)＝3，解得t＝e－3或－3e－1－33e，当f(x)＝e时，解得x＝2或x＝ee－3或x＝e－e－3；当f(x)3e－13＝e时，解得x＝2(舍)或x＝ee3或x＝e－e3，则方程f[f(x)]＝3有5个实根，故选B.

[基础送分

提速狂刷练] 一、选择题

1．(2017·临汾三模)已知函数f(x)、g(x)：

则函数y＝f[g(x)]的零点是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

由题意，g(x)＝1，∴x＝1，故选B. 2．(2017·衡水调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

∵a>0，∴a2＋1>1，而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B.

3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(

) A．(－1,1)

C．(1，＋∞)

答案

C 解析

当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不合题意．当a≠0B．[1，＋∞) D．(2，＋∞)

时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1. 1若Δ＝0，即a＝－8，函数的零点是x＝－2，不合题意，故选C. 1x4．(2017·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝4－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 1x1x1x解析

函数f(x)＝4－cosx的零点个数为4－cosx＝0⇒4＝1xcosx的根的个数，即函数h(x)＝4与g(x)＝cosx的图象的交点个

数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.

5．(2017·河南新乡三模)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为(

) 5A．4或－2

C．5或－2

答案

C 解析

g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.故选C. B．4或－2 5D．6或－2

16．(2017·河南十所名校联考)设函数f(x)＝3x－ln x，则函数y＝f(x)(

) 1A．在区间e，1，(1，e)内均有零点

1B．在区间e，1，(1，e)内均无零点

1C．在区间e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点

1D．在区间e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点

答案

D 11解析

令f(x)＝0得3x＝ln x．作出函数y＝3x和y＝ln x的图象，1内无零点，在(1，e)内有零点，故选D. ，1如图，显然y＝f(x)在e

17．(2017·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2＋的一个零

1－xx点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(

) A．f(x1)<0，f(x2)<0

C．f(x1)>0，f(x2)<0

答案

B 111解析

设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)1－x1－xx－1上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B. B．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0

8．(2017·江西赣州一模)函数f(x)，g(x)满足：对任意x∈R，都有πf(x－2x＋3)＝g(x)，若关于x的方程g(x)＋sin2x＝0只有5个根，则2这5个根之和为(

) A．5

B．6

C．8

D．9 答案

A 解析

由f(x2－2x＋3)＝g(x)及y＝x2－2x＋3的图象关于直线x＝π1对称知g(x)的图象关于直线x＝1对称，由g(x)＋sin2x＝0，知g(x)πππ＝－sin2x，因为y＝－sin2x的图象也关于直线x＝1对称，g(x)＋sin2x＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.故选A. 19．(2017·山东济宁模拟)定义在π，π上的函数f(x)满足f(x)＝

111fx，且当x∈π，1时，f(x)＝ln x，若函数g(x)＝f(x)－ax在π，π上有零点，则实数a的取值范围是(

) ln πA.－π，0

1ln πC.－e，π

B．[－πln π，0] 1eD.－π，－π

答案

B 1111解析

令x∈[1，π]，则x∈π，1，因为f(x)＝fx，且当x∈π，11时，f(x)＝ln x，所以f(x)＝fx＝－ln x，则f(x)＝

1ln x，x∈，1，π－ln x，x∈[1，π]，

在坐标系中画出函数f(x)的图象如图：

1因为函数g(x)＝f(x)－ax在π，π上有零点，所以直线y＝ax与函数f(x)的图象有交点．由图得，当a取满足题意的最小值时，直线y1a＝ax与f(x)的图象相交于点π，－ln π，此时－ln π＝π⇒a＝－πln π，由图可得，实数a的取值范围是[－πln π，0]，故选B. 10．(2016·天津高考)已知函数

2x＋4a－3x＋3a，x<0，f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递

logax＋1＋1，x≥0

减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(

) 2A.0，3

123C.3，3∪4

23B.3，4

123D.3，3∪4

答案

C 解析

要使函数f(x)在R上单调递减，

只需0

13解之得3≤a≤4，

因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点，如图所示．

111易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为a－1，又3≤a－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x>0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x<0)的图象相切时，设切点为22－x0＝x0＋4a－3x0＋3a，(x0，y0)，则整理可得4a2－7a＋3＝0，－1＝2x0＋4a－3，

32解得a＝1(舍)或a＝4.而当3a≤2，即a≤3时，直线y＝2－x与y＝|f(x)|123的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈3，3∪4.故选C. 二、填空题

311．(2017·河北模拟)若函数f(x)＝ln (x－1)－x的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k的值为________．

答案

3 3解析

易知函数f(x)＝ln (x－1)－x在其定义域上连续，f(3)＝ln 23－1<0，f(4)＝ln 3－4>0，故f(3)·f(4)<0，故函数的零点在区间(3,4)上，故k＝3，故答案为3. 2x－2，x≤0，12．函数f(x)＝的零点个数是________．

2x－6＋ln x，x>0

答案

2

解析

当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍)，所以在1(－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋x>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. 13．已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案

(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析

由题意易知a≠0，令f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，变形11得|x|－2＝－ax，

11分别作出函数y1＝|x|－2，y2＝－ax的图象，如图所示．

11由图易知，当0<－a<1或－1<－a<0，即a<－1或a>1时，y1和y2的图象有两个不同的交点，所以当a<－1或a>1时，函数y＝f(x)有且仅有两个零点，即实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

14．已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．

答案

(210，＋∞) hx＋gx解析

函数g(x)的定义域是[－2,2]，根据已知得＝f(x)，2

所以h(x)＝2f(x)－g(x)＝6x＋2b－4－x2.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－4－x2>4－x2恒成立，即3x＋b>4－x2恒成立，令y＝3x＋b，y＝4－x2，则只要直线y＝3x＋b在半圆

x2＋y2＝4(y≥0)上方即可，由|b|>2，解得b>210(舍去负值)，故实数b的取值范围是(210，10三、解答题

15．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a. (1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

1(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及0，2内各有一个零点，求实数a的取值范围．

解

(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．

依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．

1(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及0，2内各有一个零点，

＋∞)．

f0<0，只需1f2>0，f－1>0，

1－2a<0，即34－a>0，3－4a>0，

13解得20)．

(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

e2解

(1)∵x>0时，g(x)＝x＋x≥2e2x·x＝2e，

等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，

因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．

∴m的取值范围是[2e，＋∞)．

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，

e2作出g(x)＝x＋x(x>0)的大致图象．

∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，

∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．