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§ 3 函数的应用小结

教学目标：

1、

复习总结本章内容；

2、

复习巩固函数的应用，进一步深化利用函数思想解决实际问题的方法。

教学过程：

一、本章知识结构：

二、回顾与思考：

1、

函数与方程的紧密联系，体现在函数

y=f(x) 的零点与相应方程

f(x)=0 的实数根的联系上。你能说说二次函数的零点与一元二次方程的根的联系吗？另外，如果函数图像在区间

[a , b] 上是连续不断的，那么在什么条件下，函数在

(a , b) 内有零点？

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点．

2、

二分法求方程近似解的常用方法。你能说说用二分法求方程近似解的一般步骤吗？

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：

1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度；

2．求区间(a，b)的中点x1；

3．计算f(x1)：

1

若f(x)=0，则x就是函数的零点；

○112

若f(a)·f(x)<0，则令b=x（此时零点x(a,x)）○；

11013

若f(x)·f(b)<0，则令a=x（此时零点x(x,b)）○；

11014．判断是否达到精度；

即若|ab|，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2~4．

3、

不同函数模型能刻画现实世界不同的变化规律。例如，指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型。你能说说这三种函数模型的增长差异吗？你能举例说明直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义吗？

在区间

(0 , +) 上，尽管函数

ya(a1)、ylogax(a0)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，ya(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于xxyxn(n0)的增长速度，而ylogax(a0)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当xx0时，应有logaxxnax。

4、

函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？

收集数据

画散点图

求函数模型

检验

用函数模型解释实际问题

5、

用函数模型解决问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理。在处理复杂数据的过程中，需要大量使用信息技术。因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用。

三、例题讲析：

［例1］某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在提高售价以赚取更多利润．已知每涨价0．5元，该商店的销售量会减少10件，问将售价定为多少时，才能使每天的利润最多？最大利润为多少？

解：设每件售价定为x元，则比原价提高了（10－x）元，于是销售件数减少了

选择函数模型

不符合实际x100.5×10＝20×（x－10）件．即每天销售价数为200－20（x－10）＝400－20x件．

∴每天所获利润为：

y＝（400－20x）（x－8）＝－20x2＋560x－3200＝－20（x－14）2＋720 故当x＝14时，有ymax＝720．

答：售价定为每件14元时，可获最大利润，其最大利润为720元．

［例2］某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品分别为1万件、1．2万件、1．3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c（其中a、b、c为常数）．已知4月份该产品的产量为1．37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．

解：设y1＝f（x）＝px2＋qx＋r（p≠0）则

pqr1,p0.054p2qr1.2,解得q0.35

9p3qr1.3.r0.7∴f（x）＝－0．05x2＋0．35x＋0．7 f（4）＝－0．05×42＋0．35×4＋0．7＝1．3

abc1,2再设y2＝g（x）＝abx＋c,则abc1.2,

ab3c1.3.a0.8解得b0.5

c1.4∴g（x）＝－0.8×0.5x＋1.4 g（4）＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35 ∵1.35与1.37较接近．

∴用y＝－0.8×0.5x＋1.4作模拟函数较好．

［例3］某公司生产一种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入10012400xx(0x400)元，已知总收益满足函数R（x）＝,其中x是仪器的月产量．

2

(x400)80000（1）将利润表示为当月产量的函数f（x）; （2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）

解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000＋100x,从而

12 (0x400)x300x20000f（x）＝2

 (x400)60000100x （2）当0≤x≤400时，f（x）＝－121x＋300x－20000＝－

（x－300）2＋25000 22∴当x＝300时，［f（x）］max＝25000, 当x>400时，f（x）为减函数．

∴f（x）<60000－100×400<25000 ∴当x＝300时，［f（x）］max＝25000，

答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．

四、作业：

P132

复习参考题

A组：1、2、4 B组：1、3