复习参考题优秀教学实录

基本初等函数复习

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果x号nna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子n这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

a叫做根式，③根式的性质：(n（2）分数指数幂的概念

a)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，

na (a0)．

a|a|a (a0) n①正数的正分数指数幂的意义是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

mn②正数的负分数指数幂的意义是：a

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没aa有意义．

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①arasars(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称

定义

函数指数函数

yax(a0且a1)叫做指数函数

0a1

yaxa1

y图象

yaxyy1

y1

(0,1)(0,1)

O

定义域

xR

Ox

值域

(0,)

图象过定点(0,1)，即当x过定点

奇偶性

单调性

0时，y1．

在R上是减函数

非奇非偶

在R上是增函数

ax1(x0)函数值的

变化情况

ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)a变化对

图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xloga（2）几个重要的对数恒等式

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质 如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即loge．

N（其中e2.71828…）0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR) ④alogaNN

MN

③数乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR) ⑥换底公式：logaN(b0,且b1)

blogba【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数

名称

定义

函数对数函数

ylogax(a0且a1)叫做对数函数

a1

0a1

y图象

x

1ylogaxy

1x

ylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

在(0,)上是增函数

(0,)

R

图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．

非奇非偶

在(0,)上是减函数

logax0(x1)函数值的

变化情况

logax0(x1)

logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)

a变化对

图象的影响

(6)反函数的概念

设函数在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．

yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x函数x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数②函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

③若P(a,b)在原函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质

①二次函数f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶点坐标是2ab4acb2(,)．

2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,；当abbb]上递减，在[,)上递增，当x时，2a2a2a4acb2fmin(x)4a时，0时，抛物线开口向下，函数在(,bbb]上递增，在[,)上递减，当x2a2a2a4acb2fmax(x)4a．

③二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2．

|a|bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以下四个方b

③判别式：

④端点函数值符号． 2a面来分析此类问题：①开口方向：a

②对称轴位置：x①k＜x1≤x2 

yf(k)0ya0xb2aOkx1x②x1≤x2＜k  kx2b2aOxx1x2xa0

f(k)0 ya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0 xxf(k)0

③x1＜k＜x2  af(k)＜0 ya0yf(k)0x2xa0Okx1x2xx1Okf(k)0

④k1＜x1≤x2＜k2 

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2af(k1)0a0 f(k2)0

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2  f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0 ⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2  此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数 设f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

，最小值为m，令x0f(x)在区间[p,q]上的最大值为M（Ⅰ）当a1(pq)．

20时（开口向上）

①若

bbbbp，则mf(p) ②若pq，则mf() ③若q，则mf(q)

2a2a2a2af(q)

Of(p)

xObf(q)

xf(p)

Ofxb)2abf()f((p)

)bb2a2Maf(q)

②x0，则x0，则Mf(p)

①若2a2a

ff((q)

(p)

x0bbbb

x(q)p，则MpqMf()q，则Mf(q)

①若 ②若，则 ③若f(p)0O2a2a2ax2a

①若

(Ⅱ)当a0时(开口向下f) Ofxfbf(((p)b

))f2a2aff((q)

f(p)

Of(p)

xObf()2ab)2aff(b)2a(q)

xOxf(q)

(q)

f(p)

fbbx0，则mf(q)

②x0，则mf(p)．

2a2af(b)2a

(p)

fOff(b)2a

(q)

x0xx0Of(q)

xf