习题2.1优秀教案说课稿

2.1.2 指数函数及其性质（一）

曾珍

一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。

二、问题引领：

1、指数函数的概念、图象和性质

定义

函数yax(a0，且a1)叫做指数函数．

指数函数图象

分类

a1

向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

0a1

指数函数图象特征

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，图象逐渐上升

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡

自左向右看，图象逐渐下降

在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象下降趋势是越来越缓

函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为0,

a01

指数函数性质

增函数

减函数

x0,ax1

x0,ax1

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；

画指数函x0,ax1

x0,ax1

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

两点一线法(两点指（0，1），（1，a）；一线指渐近线x轴)。

数简图的方法

2、指数函数图象分布图：

如图，A,B,C,D分别为指数函数

yax,ybx,ycx,ydx的图象，则a,b,c,d与0、1的大小关系为0ab1cd。

三、典例剖析：

例题1：已知指数函数fxaxa0且a1的图象经过点2,，求f0、f1、f2的值。

分析：要求f0、f1、f2的值，我们需要先求出指数函数fxax的解析式，也就是要先求a的值。根据函数图象过点2,这一条件，可以求得底数a的值。

解：fxax的图象经过点2,，

f2

即a2，解得a

fx，即：f01,f1,f21012x2121。

点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。

111例题2：1、设1，求aa,ab,ba的大小关系。

3332、

比较0.5,1.2,1的大小。

分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。

2534ba1111解：1、因为函数y在R上为减函数，又由1，

3333

所以得：0ab1，

x

因为当0a1时，函数ya为减函数，又ab，

abxx

所以aa，因为函数ya与yb在R上同为减函数且当x0时，xbaxx随着x的增大，函数ya比函数yb减小的快，所以ab，

aa即aab。

baa

2、因为函数y0.5x在R上为减函数，所以00.50.51，又因为函数250y1.2在R上为增函数，所以1.21.21，即0.511.2

点评：涉及到无理数和超越数的大小比较，一般需根据这些数的构成特点，寻求某个函数作模型，然后将各数统一到这个模型中，利用函数单调性比较大小。

若底数相同，指数不同时，则可直接利用指数函数的单调性比较大小。

若底数不同，指数相同时，则可利用指数函数的图象分布规律进行比较大小。

若底数不同，指数也不相同，则常借助0，1等中间量进行比较。

例题3：对任意实数x，求函数y32x53x11的值域。

分析：将函数分解成指数函数和二次函数的复合函数，分别利用指数函数的值域和二次函数的单调性求值域。

解：y3x3402534x255113x1=3x

363622511

令t3x(t0)，因为yt在t0,为增函数，所以

636

函数y32x53x11的值域为1,。

点评：本题考查与指数函数有关的复合函数ykax2maxn(a0,a1)x求值域问题,常用换元法,其步骤:1、换元，令ta(t0)2、得二次函数ykt2mtn(t0)，3、由二次函数ykt2mtn(t0)的单调性求y的范围。

四、自我测评：

（一）、选择题：

2

x2x1、下列函数中（1）y2x（2）y2（3）y2（6）y（4）y32（5）y21

xx2x，一定为指数函数的个数为（

）

A

0

B

1

C

2

C

3 2、

数y3的图象（

）

xxA 与y3的图象关于y轴对称

B 与y3的图象关于坐标原点对称

xx的图象关于y轴对称

D与y3的图象关于坐标原点对称

xC 与y33、

下列函数能使等式fabfafb恒成立的是（

）

A

ykxb

B

yax

C

yax2bxc

D

y4、

已知函数ya1x的图象恒过定点P，则定点P的坐标是（

）

k

xA （1，1）

B （1，4）

C

（1，5）

D （0，1）

（二）、填空题：

5、指数函数yfx的图象过点1,3，则ff1=

。

6、函数y11()x的定义域为

。

27、设fx4x2x1(x0)，又fa0，则a的值为

。

8、函数y2x1的图象一定不过

象限。

（三）、解答题：

x

a,(x5)9、fxa0,a1且已知f816，求a的值。

fx2(x5)130.70.310、已知a0.7，b3，c，d32，比较a,b,c,d的大小。

43

xx11的定义域。

11、若函数fx的定义域是0,1，分别求函数f3和函数f2

12、求函数y9x2a3xa21的值域。

（四）错题反思：

错

题

反

思

题号

错因

正解

教师评语

§2.1.2 指数函数及其性质（一）自我测评答案

一、

二、

三、

选择题：1、C 2、D 3、B 4、A

填空题：5、27 6、[0,) 7、1 8、二或四

解答题：

9、解：f8f6f4a416a2

10、解：y0.7x在R上是减函数00.70.70.701

x00.3 又y3在R上是增函数133且1b30.33d

123 c0，即cabd

411、解：3fx的的定义域是0,1，03x130，又y3x在R上是增函数，x0即

函数f3x的定义域为0,

 同理，由02x111，2012x121，y2x在R上是增函数，1x2即函数f2x11的定义域为1,2

12、解：设t3xt0，则yftt22ata21

（1）当a0即a0时，函数ft在0,上为增函数，因此，ya21，2此时，所求函数的值域为a1,。

（2）当a0时，函数ft在(0,a]上为减函数，在[a,)上为增函数，当xa时，ymina22a2a211，无最大值，此时，所求函数的值域为[1,)。

§2.1.2 指数函数及其性质（二）

一、学习目标：

理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些简单的问题。本节课的重点是指数函数单调性的应用，本节课的难点是理解底数a的值对指数函数单调性的影响，体会数形结合、分类讨论、化归等数学思想。

二、问题引领：

1．指数函数的单调性与底数a的取值有关，因此我们常常要对a分

和

两种情况讨论。

2．指数函数的单调性：

（1）当a＞1时，函数y=a在定义域R上为

；

（2）当0a＜1时，函数y=a在定义域R上为

。

3．函数yfx在区间D上是增函数，

fx（1）当a1时，a在D上为

；

fxxx（2）当0a1时，a三、典例剖析：

在D上为

。

1x23x2y()例题1：写出函数的递增区间

31u1u2分析：题中函数由y()与ux3x2复合而成，因为y()是减函数，所33以，函数ux3x2的减区间为y关于自变量x的增区间。

21x23x20，解法一：设函数的递增区间为D，任取x1D，x2D，且x1x2，又()

3

则有f(x1)1，对x1,x2D恒成立，

f(x2)12()x13x121(x123x12x223x22)1[x12x223(x1x2)]13

要使()()()(x1x2)(x1x23)1，

12333()x23x223对x1,x2D恒成立。

x又y()，当x0时，恒有0y1成立，

13需有

(x1x2)(x1x23)0

又x1x2

即

x1x20

即需

x1x230

对x1,x2D恒成立。

33

且

x2时，都有，x1x230对x1,x2D恒成立，

223所求递增区间为(,]

23212解法二：令ux3x2，则u(x)，

24当x133211

当x(,]时，u(x)是减函数，y是减函数，此时，2243函数y()点评：

1．用定义法寻求函数的增区间（减区间），即寻求某一个区间D，对于任意x1D，x13x23x2是增函数，所以，所求递增区间为（,3）。

2x2D，且x1x2，恒有f(x1)f(x2)0(f(x1)f(x2)0)成立。

2．复合函数f(x)agx问题，通常用换元法，令tgx，将它化归为基本初等函数yat,tgx，利用复合函数的单调性来解决，但要注意定义域的限制，掌握这种化归的思想方法。

例题2：对于函数f(x)m1

(mR)

12x1）

探索函数f(x)的单调性。

2）

是否存在实数m，使函数f(x)为奇函数？

分析：探索函数的单调性，可以直接用定义法，也可以借助复合函数的单调性判断。

（1）解法一：由题可知f(x)的定义域为R，任取，x1R，x2R，且x1x2，

112x12x2

则，f(x1)f(x2)m

mx1x2x2x11212(12)(12)

y2在R上是增函数

2

又

12x1xx12x2

即

2x12x20

0

12x20

f(x1)f(x2)0

即

f(x1)f(x2)

f(x)在R上为增函数

xxx解法二：令t12，xR，20，121，则

ym

1t

x

t12在定义域R上为增函数，ym在t0,上是增函数

1t

所以，f(x)在R上为增函数。

（2）解法一：存在m1使得f(x)为奇函数。

2f(x)的定义域为R，又f(x)在定义域R上为奇函数



有fxfx恒成立，即m11m恒成立

xx121212x1m1有2m恒成立，即

xx21212解法二：存在m1使得f(x)为奇函数。

2f(x)的定义域为R 110m

，

021211

此时，f(x)

212x

令f(x)＝0，得m1112x12x1111

又f(x)

212x22x1222x12x1

f(x)f(x)

存在m1，使得f(x)为奇函数。

2点评：本题（1）问探索函数单调性问题：解法一用单调性的定义求函数的增区间；解法二是利用复合函数判断单调性的方法判断函数的单调性，但需要注意，在证明题中，在利用复合函数判断单调性的方法判断函数的单调性后还需用定义证明。（2）问是已知函数的性质求参量值的问题，可以用定义法，也可以利用取特值（如：f(0)0或f1f1等）的方法求参量的值，但需要注意，求出参量值后，还应用定义证明f(x)为奇函数（偶函数）。

四、自我测评：

（一）选择题

1．

设31，则x的取值范围是（

）

6A.2x1

B.3x2

C.1x0

D.0x1

x22．若集合yy(),xR，yy2x,xR，则有（

）。

12x

A. 

B. 

C.

D.



3．函数y(a2)x在(,)上是减函数，则a的取值范围（

）。

A.a3

B.a＞2

C.a3

D.2a3

4．已知函数f(x)a2x(0a1)则f(x)1的，x的取值范围（

）。

A.(0,)(,0)

B.0

C.0,

D.,0

（二）填空题

5. “22”是“x6. 函数y212xx2xyy”的

条件。

的单调增区间为

。

7．函数y4x2x1，x[0,1]的值域为

。

8．设a,b,c分别是方程()x1，()x2，()x2的根，则a,b,c的大小顺序为

。

（三）解答题：

9．已知a(3x1)12x12x13xa2x（a0且a1），求x的取值范围。

10．定义在R上的函数yf(x)满足对任意的x1,x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且x0时，f(x)1，求函数f(x)在定义域上的单调性。

axax(0a1)

（1）判断f(x)的奇偶性

（2）证明f(x)在11．已知f(x)xxaa(0,)上为增函数。

3x12．已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，在x(0,1)时，f(x)x且9111f(1)f(1)，求f(x)在［－1，1］上的解析式，并求f(x)在[,]内的最小值。

32（四）错题反思：

错

题

反

思

题号

错因

正解

教师评语

§2.1.2 指数函数及其性质（二）自我测评答案

四、

五、

六、

选择题：1、A 2、B 3、D 4、D

填空题：5、必要不充分条件 6、[,) 7、[1,3] 8、bca

解答题：

129、解：当a1时，因为函数yax在R上为增函数，所以3x12x，即x1

51当0a1时，因为函数yax在R上为减函数，所以3x12x，即x

5综上：（1）当a1时，x的取值范围为,；

15

（2）当0a1时，x的取值范围为,

10、解：令x10,x20，则fx21，fx2f0fx2，因此，f01

令x1x0,x2x，则有fxxfxfx，有0fx1，即，任意xR，都有fx0成立。

任取

x1R,x2R，且x1x2，则x2x10，有fx2x11

又fx10,fx20，所以，fx2fx1fx2x1fx1，

即函数f(x)在定义域上为增函数。

11、（1）解：定义域要求aaxx150，解得，x0，即函数的定义域为

,00,

axaxaxaxxfx，

又fxx所以，函数fx为奇函数。

xxaaaa

（2）证明：任取0x1x2，则

2a2x2a2x1ax1ax1ax2ax2a2x11a2x21fx1fx2x1aax1ax2ax2a2x11a2x21a2x11a2x21

0a1，函数yax在R上为减函数，a2x2a2x10，又a2x110,

a2x210，所以fx1fx2，即函数fx在0,上为增函数。

12、fx为R上的奇函数，即f00，又f1f1f0f0，f1，3x得：f1f10，设x1,0，则x0,1，fxfxx

91所以，函数fx在[-1，1]上的解析式：

0x39x1

fx03xx910x10x1x01x0x1

3x13x23x19x23x13x29x13x2x2

任取0x1x21，则fx1fx2=x

x1x2191919191(3x13x21)(3x23x1)x1x2x2x1xR3310330，，，在上是增函数，y3x1x29191又9110,9210，所以，fx1fx2即fx在0,1上是减函数，因此fxxx在[,]上也是减函数，即当x

113213时，fxmin。

24

§2.1.2 指数函数及其性质（三）

一、学习目标：

通过对实际问题的抽象和概括，能将实际问题转化为数学问题或建立数学模型，本节课的重点和难点是应用函数模型解决实际问题。体会通过建立函数模型解决实际问题的过程

二、问题引领：

应用函数模型解决实际问题，首先要把实际问题翻译成数学语言；分析实际问题所包含的数学关系；把实际问题抽象成数学问题，建立起相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，思路可表示如下：

数学化

数学问题

实际问题

（转化成数学问题）

问题解决

数学解答

实际问题结论

数学问题结论

（回到实际问题中）

解决应用问题的一般步骤是：（1）审题；（2）建模；（3）求模；（4）还原。

三、典例示范

例题1：某公司2005年产煤量为13万吨，2007年的产量比2005年的产量增长了69%，求这期间的年平均增长率。若今后该公司的年产量按年平均增长率增长，问2010年，该公司的年产量为多少？（精确到0.01万吨）

分析：增长率=增长值/原产值。

解：设年平均增长率为x，

则

13(1x)13(169%)

1x1.3

x0.3

即

2005年至2007年期间的平均年增长率为30%，

2008年底，该公司的产量为13(1x)

2009年底，该公司的产量为13(1x)

2010年底，该公司的产量为13(1x)131.362.75（万吨）

所以，2010年，该公司的年产量为62.75万吨。

点评：

在实际问题中，经常会遇到指数增长的模型：设原有量为N，平均增长率为p，则对于经过时间xx后的总量y可以用yN(1p)表示。我们把形如55432ykax(kR,a0且a1)的函数称为指数型函数。

例题2：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式，如果存入本金10000元，每期利率3.06%，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.1元）

分析：可以用指数型函数模型解决有关复利问题。

解：已知本金为a元，

1期后的本利和为y1aara(1r)；

2期后的本利和为y2a(1r)a(1r)ra(1r)2；

3期后的本利和为y3a(1r)3；

……

x期后的本利和为ya(1r)x。

将a＝10000元

r＝3.06%

x＝5 代入上式，得，

y＝10000×10.0306

＝100001.03065

5

由计算器算得：y11982.3

元

答：本利和y随存期x变化的函数式为ya(1r)x，5期后的本利和为11982.3元。

点评：

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息，该问题可通过指数型函数模型ya(1r)得以解决。

单利也是一种计算利息的方法，即每年都只由本金计算利息，该问题可通过一次型函数模型ya(1rx)来解决。

（万元）

1000 800 x四、自我测评：

（一）选择题

600 1．

某企业近几年的年产值如图，则年增长

400 率最高的是(

) 200 A．03-04年

B.

04-05年

C.

05-06年

D.

06-07年

03 04 05 06 07 （年）

2．某计算机销售价为a元，一月份提价10%，二月份比一月份降价10%，设二月份销售价为b元，则（

）

A．ab

B.

ab

C.

ab

D.

a、b的大小无法确定

3．对xR，定义x为不超过x的最大整数，现有某细菌在培养过程中，每小时分裂一次（一个分裂为两个），经过x小时，这种细菌由1个可繁殖为y个，则y与x之间的函数关系为（

）

xxxA．y2x(xN)

B.y2(N)

C.y2(x[0,))

D.y2x(xR)

214．方程2x。

x2a有两解，则a的取值范围（

）

A. 0a1

B.

a1

C.

a1

D.a2

（二）填空题：

5．某人2002年9月1日到银行存入一年期款m元，若按年利率x复利计算。则到2007年9月1日可取回

。

6．某化学物质经过100年剩余质量是原来质量的0.9576，设质量为1的此物质，经过x年后剩留量为y，则y关于x的函数关系式

。

17．已知x满足不等式28．函数f(x)3x21

，则函数fx4x21x的值域

。2x1（a1），则下列关系正确的有

。

xxaa①f(3)f(2)0②f(3)f(2)0③f(2)f(3)0④f(2)f(3)0

(三)解答题：

9．已知a0，设p:函数yax在R上单调递增；q:不等式xxa2的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围。

10．公司甲和公司乙共同投资一笔生意，甲公司在整整一个月中每天投资10万元，乙公司第一天投资1分钱，以后，每天乙公司投资的钱是前一天的2倍，问：一个月（31天）内甲、乙公司各投资多少万元（用计算器计算，精确0.1万元）。

11．已知人体内某物质的含量为0.48mg/ml，且已知该物质经过代谢每小时减少一半，问：至少经过多少小时，该物质在体内的含量不超过0.08mg/ml。（精确到小时）

12．银行定期存款一年期的年利率是2.25%，二年期的年利率是2.48%，三年期的年利率是2.70%。现有现金一万元，计划三年后使用，若采用定期储蓄方式存入银行，请问应如何选择期限组合才能使其获得利润最大？

（四）错题反思：

错

题

反

思

题号

错因

正解

教师评语

§2.1.2 指数函数及其性质（三）自我测评答案

一、选择题：1、D 2、B 3、C 4、A

二、填空题：5、m1x元 6、y0.9576三、解答题：

9、解：已知a0，设p:函数yax在R上单调递增；若命题p正确，需a1；

5x100 7、[1,0) 8、4

q:

不等式xxa2的解集为R，若命题q正确，需a2；

如果p和q有且仅有一个正确，需1a2

10、解：公司甲和公司乙共同投资一笔生意，甲公司在整整一个月中每天投资10万元，一个月（31天）内甲公司共投资310万元；乙公司第一天投资1分钱，以后，每天乙公司投资的钱是前一天的2倍，钱数y与时间x的函数关系式为y0.012x，则一个月（31天）内乙公司共投资

0.0120.01220.012302147（万元）

答：一个月（31天）内甲公司共投资310万元，乙公司共投资2147万元。

11、解：人体内某物质的含量为0.48mg/ml，该物质经过代谢每小时减少一半，则n小1时后体内含量y与时间n的函数关系式为y0.48，要使该物质在体内含量不21超过0.08mg/ml，需0.480.08，又nN，即n3。

2

答：至少经过3小时，该物质在体内的含量不超过0.08mg/ml。

12、解、由题意可知，共有四种方案，即

（1）若选择一年期存款，则三年后总钱数为

1(13.06%)1.0946（万元）

（2）若先选择两年期存款，再选择一年期存款，则三年后总钱数为

1(13.69%)(13.06%)1.1081（万元）

（3）若先选择一年期存款，再选择两年期存款，则三年后总钱数为

1(13.06%)(13.69%)1.1081（万元）

（4）若选择三年期存款，则三年后总钱数为

1(14.41%)1.1382（万元）

答：应选择第四种期限组合才能使其获得利润最大。

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