3.3 幂函数教案1

第15课时

幂函数概念和性质

教学目标：

知识与技能

通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．

过程与方法

能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．

情感、态度、价值观

体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

教学重点：

重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．

难点

画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．

教学过程：

一.问题情境：

1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，

则所需的钱数y=____元.

2、如果正方形的边长为x，则面积y=_____.

3、如果正方体的边长为x，体积为y，

那么y=_______

4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为那么y=______

5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的速度为y公里/秒，那么y=__________ 二.建构数学、

幂函数的概念：

函数____________________叫做幂函数，其中x是________，其中α是____________. 探究1：你能举几个学过的幂函数的例子吗？

探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？

探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？

三、.幂函数性质的探究：

探究4：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？

（1）y＝x；（2）y＝x；（3）y＝x；（4）y＝x．

思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．

答案：（1）定义域为［0，＋），（2）（3）（4）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．

- 1 - 12132343

探究5：仿照问上题研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？

（1）y＝x；（2）y＝x；（3）y＝x－1－21－2；（4）y＝x－13．

思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；

答案：（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．

总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．

四、.数学应用：

［例1］讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．

思路：函数y＝x是幂函数．

（1）要使y＝x＝x2

有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．

（2）∵xR，∴x2≥0．∴

y≥0．

（3）f（－x）＝（－x）

＝x

＝f（x），

∴函数y＝x是偶函数；

2（4）∵n＝

＞0，

∴幂函数y＝x5在［0，＋］上单调递增．

5

由于幂函数y＝x是偶函数，

∴幂函数y＝x在（－∞，0）上单调递减．

（5）其图象如右图所示．

［例2］比较下列各组中两个数的大小：

（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2）- 2 - 353525252555252252252523，（－1.25）23．

解析：（1）考查幂函数y＝x的单调性，在第一象限内函数单调递增，

∵1.5＜1.7

∴1.5＜1.7

（2）考查幂函数y＝x的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．

（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，

∵（－1.2）∴（－1.2）

232335353532＝1.223，（－1.25）2323＝1.2523，又1.223＞1.2523

＞（－1.25）-14

23例3、求函数y=(x+1)(x2)的定义域。

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：

（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；

（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

回顾反思：通过本节学习，

（1）幂函数的定义：y=xα

（2）大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力. 反馈、

1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1）2.3，2.4；

（2）0.31，0.35；

（3）(2)126565343432，(3)1232；

（4）1.1，0.932．

2．作出函数yx的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．

3．作出函数yx和函数y(x3)的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．

- 3 - 22

4．用图象法解方程：

（1）xx1；

（2）xx3

1．如图所示，曲线是幂函数yx在第一象限内的图象，已知分32别取1,1,12,2四个值，则相应图象依次为：

．

2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？

（1）yx3和yx13；

54（2）yx4和yx5．

- 4 -