2.2.2 函数的奇偶性教学实录与评析

函数的奇偶性

一、教学目标

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；

2.掌握判断函数奇偶性的方法；

3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．

二、知识梳理

1．函数奇偶性的概念

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f(x)是偶函数；

(2)如果对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．

2．奇、偶函数的图象

(1)偶函数的图象关于______对称．

(2)奇函数的图象关于______对称．

三、习题设计

一、填空题

1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是________函数(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)．

2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________．(填序号) ①f(－x)＋f(x)＝0；

②f(－x)－f(x)＝－2f(x)；

③f(x)·f(－x)≤0；

④fx＝－1. f－x3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．

其中正确的命题个数是________．

14．函数f(x)＝x－x的图象关于________．(填序号) ①y轴对称；②直线y＝－x对称；③坐标原点对称；

④直线y＝x对称．

5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝____________________________. 6．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法正确的是________．(填序号) ①y＝f(x)图象关于直线x＝1对称；

②y＝f(x＋1)图象关于y轴对称；

③必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立；

④必有f(1＋x)＝f(1－x)成立．

7．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝_____________________________.

8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．

9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________. 5710．y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2)，f(2)的大小关系是____________________．

二、解答题

11．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝3，x∈R；

(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；

(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；

(4)f(x)＝0，

x＝0，x2－1，

x<0.

1－x2，

x>0，

3)a，12．已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，若f(用a表示f(12)．

ax21(a,b,cZ)是奇函数，又，f(1)2，f(2)3，求a、b、c的值. 13．已知函数f(x)bxc

14．已知奇函数f(x)＝0

x＝0x2＋mx

x<0－x2＋2x

x>0

. (1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

15．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．

(1)求f(0)，f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性．

四、归纳总结

1．函数奇偶性

(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．

(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．

(3)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．

2．函数的奇偶性与图象的对称性的关系

(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数．

(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于y轴对称，反之，若一个函数图象关于y轴成轴对称，则其必为偶函数