3.4.1 函数与方程优秀教学设计说课稿

函数与方程

江苏省沭阳县建陵高级中学 杨恒顺

【教学目标】

1.知识与技能

能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系。

2.过程与方法

通过观察研究、合作交流、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。培养用函数解决方程问题的能力。

3.情感态度价值观

培养学生交流协作、归纳总结、勇于探究的学习精神。

【教学重点】

把一元二次方程根的分布转化为二次函数图象问题来解决。

【教学难点】

如何根据一元二次方程根的情况，作出符合题意的函数图象。

【内容分析】

1.本节开头为我们提供这样两个问题情境：

（1）利用函数图象能求出0.840.5的近似解吗？

（2）利用什么方法可以求出方程lgx3x的近似解？

此问引起我们的思考：方程的解与函数图象有怎样的关系？如何把方程的问题转化为函数问题？故从学生熟悉的一元二次方程入手，探讨其与二次函数的关系，即怎样运用二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

2.把方程转化为函数，关键要能作出函数的图象，运用函数的性质。所以在判断一元二次方程根的个数时，应结合二次函数图象的顶点位置以及开口方向、对称轴等来确定方程根的分布，列出符合条件的不等式或不等式组。

3.渗透算法思想为后面学习二分法作准备。

【课前准备】

六张幻灯片，实物投影

【设计思想】

1.指导思想：

本节课本着“教师为主导，学生为主体，问题为主轴，探究为主训”的原则进行设计。教师的主导作用在于激发学生的探究问题的热情和信心，通过教师在课堂上的精心设计，以启发、探究式教学为主，引导学生进入问题情境，同时发挥学生的主观能动性，师生共同推进课堂教学活动，使学生有一个积极的态度探究新知识。

学生是课堂的主体，教师要以问题为主线，引导学生讨论、探究问题，共同发现知识的发生、发展过程，从中探讨新旧知识的内在联系，发现规律。这就要求教师留给学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构。

2.教学实施

1

x

（1）问题情境：开头提出两个问题让学生思考，激发学生的求知欲；

（2）学生活动：当提出的问题学生无法解决，思维受阻时，要从学生已有的知识结构入手，探究其与新知识之间的联系。这个过程实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的过程，是这节课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮。教师应抓住这个时机，充分调动学生的参与力度和广度，让学生从中体会探究问题、解决问题的乐趣。

（3）意义建构：通过热烈地探讨和研究，新知识的组建是水到渠成。总结和归纳新旧知识之间内在联系和发展规律，使认识问题达到质的飞跃。

（4）数学运用：理论指导实践，并在实践中得到检验。这个过程也是新知识再认识、再建构的过程。

（5）回顾反思：回顾历程，展示收获，是一件美好、愉快的事情。

（6）布置作业：做好课堂巩固，反馈教学效果，是教学环节不可少的环节。

【教学过程】

一、问题情境（幻灯片）

问题1 利用函数图象能求出0.840.5的近似解吗？

问题2 利用什么方法可以求出方程lgx3x的近似解？

教师：请同学们思考这两个问题，看是否能解决。

二、学生活动

学生对上述问题展开讨论，寻求解题方法。

结果：第一个问题可作出函数y0.84x的简图，但要求0.840.5的近似解仍是束手无策。第二个问题，更是无法解答。

教师：大家通过讨论发现无法解答这两个问题。但是它给我们提出一个新的问题，那就是函数图象与方程存在怎样的关系？请看问题3（从学生熟悉的一元二次不等式入手，探究这类题型的解题方法）。（幻灯片）

（板书课题：函数与方程）

问题3 你能证明一元二次方程2x3x70有两个不相等的实数根吗？

学生进行了热烈讨论（在投影仪上展示学生成果）

学生A：用判别式的符号判定：△＝342(7)650，所以方程22xx2x23x70有两个不相等的实数根。

365365365学生B：运用配方法求根：x，即x，x，显4444416然原方程有两个不相等的实数根，也可以用求根公式求。

学生C：设f(x)2x3x72(x)线，顶点坐标为,2234265，因为函数f(x)是开口向上的抛物83465在x轴的下方，则函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，82

即方程2x3x70有两个不相等的实数根。

学生D：设f(x)2x23x7，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2f(0)20230770，所以函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，即方程2x3x70有两个不相等的实数根。

……

学生E：对函数f(x)2x23x7，只要找到一个实数x0使f(x0)0，即可说明22x23x70有两个不相等的实数根。

教师：同学们讨论的很好！前面两种方法是从方程角度来证明，后面三种方法是把方程转化为函数来处理。从这两种处理方法来看，大家觉得哪一种方法好？

学生：第一种方法好，只用判别式就可以证明，其它方法没有必要。

教师：对，只要用判别式就足以解决本题，既简单又容易接受。把方程转化为函数来处理看不出优势。那么这种方法出现有没有价值呢？请看问题4（幻灯片）： 问题4 已知方程x2axa30有一个实根大于1，另一个实根小于1，求实数a

的取值范围。

（组织学生讨论，在投影仪上展示学生成果）

学生A：设方程x2axa30的两个根分别为x1,x2，由题意知：

22(2a)24(a3)0(1)△0

即：

(x1)(x1)0xx(xx)10(2)121212再由x1x22a,x1x2a3代入（2），就可以求出a的范围

a学生B：设f(x)x2axa3，由图可知

22。

3(2a)24(a3)0△0

即

：，

f(1)012aa30可求得a的范围

a2。

32。

32学生C：设f(x)x2axa3，由图可知f(1)0，即12aa30，a教师：我们先就学生B、C解法讨论一下，究竟要不要△0，为什么？

学生：不需要△0，因为函数f(x)的图象开口向上，若f(1)0，则二次函数f(x)

与x轴恒有两个交点，且一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1。

教师：回答得很好！再把此法与学生A的方法比较一下看一看优劣。

结论：两种方法都可以解，但把方程转化为函数优越于只从方程角度思考

问题。

3

教师：若把问题4变一下，即：方程x2axa30有一个根在1,0之间，另2一个根在3,2之间，求实数a的范围，大家又如何处

理？

（组织学生继续探究）

学生：令f(x)x22axa3，由函数的图象知：

f(0)0f(1)0，即可解得a范围。

f(2)0f(3)0若从解方程入手就相当困难。

教师：从以上讨论，我们不难看出：把方程问题转化为函数问题来解是有一定的优越性的，它不仅能解决用方程也能解决的问题，还能解决一些用方程解决比较困难的一些问题，所以函数与方程的思想是数学最重要思想之一，也是我们数学中常见的解题方法。

三、意义建构

一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数

也就是函数yax2bxc的图象与xyax2bxc(a0)的值为0时自变量x的值，轴交点的横坐标。因此，一元二次方程axbxc0的根也称为函数2yax2bxc(a0)的零点。

22当a0时，可以得到方程axbxc0的根与函数yaxbxc的图象之间的关系如下表（幻灯片）：

△b24ac

△>0

△=0

△<0

ax2bxc0

（a0）

bb24ac

x1,22ax1x2b

2a

方程无实数根

y [来yax2bxc

（a0）

源:学+科+网Z+X+X+K]

x

2

当a0时，方程

axbxc0可转化为第一种情况处理。

教师：这个表充分反映了方程的根与函数图象的关系，所以若能把方程与函数图象完美结合对我们以后解决此类问题是大有益处的。

4

四、数学运用

例题：已知xax20的两根都小于－1，求实数a的取值范围。

（学生口述，教师板书）[来源:Zxxk.Com]2

[来源:Z§xx§k.Com]

学生：设f(x)x2ax2，当两根都小于－1时，函数图象如图：

△0a因此有122a3

2f(1)0教师：回答很好！同学们讨论一下有没有其它解法？

△0学生：还有x1x22

xx112教师：同学们思考一下，这样做可不可以，计算看一看结果怎么样？

（经计算发现，结果与上不同）

教师：什么原因呢？

（学生议论纷纷，说法不一）

[来源:Zxxk.Com]学生：因为x1x22不一定满足x11且x21，如x14,x20.5，满足x1x21x1x22，但不满足题意。

xx112教师：回答得很好！我们在解题过程中，一定要保证过程的等价性。这样求出的结论才能符合要求。那么，本题谁能把这种解法改进一下？

（学生展开交流、讨论）

[来源:学_科_网]学生：设方程xax20的两根为x1,x2，且x11，x21，则

2△0(x11)(x21)0，解之得

22a3

(x1)(x1)012变式（1）若两根都大于－1时，求a的取值范围。

△0a不难得到1

2f(1)0变式（2）若两根为x1,x2，且0x1x23，求a的取值范围。

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△0f(0)0学生：令f(x)x2ax2，由题意知：f(3)0

0a32【回顾小结】

（请学生回答）

学生：本节主要学习了把方程根的问题转化为函数零点的问题来解决，关键是作图。

【教后反思】

本节课学生思维活跃，参与面广，但解题过程中对充要条件的理解还不到位，把充分条件的当成充要条件使用。

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