2.2.1 函数的单调性优秀课堂实录

函数单调性

丹阳六中 吕波

教学目标：

1.知识与技能：理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法。

2.过程与方法：

（1）引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数的概念；

（2）能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生体会特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象的研究方法；

（3）渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用。

教学难点：函数单调性的概念形成

教 法：讲授、启发，探究式

学 法：尝试、归纳、总结、运用

教学过程：

（一）问题引入：

如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

设计意图：新课导入是课堂教学的重要环节，是一堂课成功的起点。通过

学生熟悉的天气变化图引入，让学生看图说明其变化趋势，把数学与生活实际联系起来。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

（二）建构概念

从图像中，我们容易看出：在区间[0，4]上，函数的自变量x逐渐增大时，函数值y在逐渐减小；在区间[4，14]上，函数的自变量x逐渐增大时，函数值y在逐渐增大。

此时，教师提出函数单调性的概念。

提问：如何用数学语言刻画函数在某个区间上y随x增大而增大？

设计意图：用提问的方式，简单介绍本节课的主要内容，通过问题的解决掌握基本内容。有助于培养学生的观察能力、自学能力和解决问题的能力。

观察4点到14点的函数图像，教师首先在函数图像上取一些确定的点，让学生观察两个点的坐标之间的关系，比如：点（8，1），点（10，4）,自变量8<10, 函数值1<4。通过几组值的比较，引导学生得到对任意x1、x2∈[4，14]，且x1x2时，都满足f(x1)

根据上面的分析，教师进一步来引入增函数的概念：

一般地，设函数y ＝

f(x) 的定义域为D，区间I

D，如果对于属于

这个区间I的自变量的任意两个值

x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)

，

那么就说函数y＝f(x)在这个区间I上是单调增函数，简称增函数，区间

I 称为函数y＝f(x)的单调区间。

此处，教师指出：“存在”两个值x1、x2

与“任意”两个值

x1、x2之间的区别。

设计意图：通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

请同学类比单调增函数的概念，给出单调减函数的概念？

O y y f(x1)f(x2)O f(x1)f(x2)x1x2x x1x2x 注：从图像上看，单调增函数图像从左到右上升，单调减函数图像从左到右下降

设计意图：学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要。但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程。刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强。从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点。

（三）运用概念

1.

请同学回忆我们所学过的一些函数，并作出图像，写出单调区间（如：一次函数、二次函数、反比例函数、耐克函数、常值函数）

教师用实物投影仪展示学生作业（反比例函数可能把单调区间写成并集形式），教师需要强调：

①区间端点如何处理

②函数的单调区间之间不能写成并集（讲清理由：举反例）

③函数的单调性只是针对某个区间而言，有些函数在整个定义域上不是单调的，但是在定义域的某些区间上却存在单调性。即：函数的单调性是一个局部的性质。

设计意图：在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解。

2.上面我们是从形的角度来研究单调区间，并得出单调增、减区间，下面讲解如何给出单调性的严格逻辑证明：

我们的依据是什么呢？或者说怎么来证明呢？依据就是定义。

如何用语言和符号刻画下列函数从左向右函数值的变化规律？

y y2x221O x y yx22xO 1

2

x

设计意图：通过具体的例子，通过函数的图像特征，加深学生对函数单调性的概念的理解，并学会用符号刻画函数的单调性。

下面我们一起研究一个例题：先结合函数图像，说明函数yx1的单调区x间？（如上面学生已举例，则直接引入，估计学生能讲清单调区间）

例题：证明函数yx1在区间(0,1]上是减函数

x证明过程：设x1、x2是区间(0,1]内的任意两个实数，且x1x2，

则f(x1)x111，

f(x2)x2

x1x2于是：f(x1)f(x2)(x1xx111)(x2)(x1x2)(12) x1x2x1x2x1x21 x1x20,0x1x21

x1x21 x1x210 x1x210

x1x2f(x1)f(x2)0

f(x1)f(x2)

所以，函数yx练习：证明函数yx1在区间(0,1]上是减函数

x1在区间(1,)上是增函数

x根据学生的证明过程，教师规范书写的格式，并引导学生小结：

①判断函数单调性的方法：图像（从“形”的角度）

定义证明（从“数”的角度）

②函数单调性的证明步骤：

取值——作差——变形——判断符号——下结论。

观察图像并思考：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性又有何关系？

（学习基础较好的同学课后可以尝试解决这个问题）f(x)在R上是偶

函数，在区间(,0)上单调递增且f(2a2a1)f(3a22a1)，求实数a

的取值范围。

设计意图：由于例题难度较大，学生难以从中归纳出判断(证明)方法及步骤，因而有必要先详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此。归纳判定(证明)方法并加以比较说明；使学生突破本节的难点，掌握重点内容。最后，教师结合耐克函数图像，引导学生关注函数单调性与奇偶性之间的关系，留给学生思考的空间，也为下节课作铺垫。

小

结：

1.函数单调性的概念，单调增（减）函数的概念，注意关键词

2.判断函数单调性的方法：定义证明（从“数”的角度） 图像（从“形”的角度）

3. 函数单调性的证明步骤：取值——作差——变形——判断符号——下结论

设计意图：对本节课内容作全面小结，除知识外，对所用到的数学方法，也进行适当的小结。使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化。

课后作业：

1.阅读教材完成课后习题；

2x1,x12.思考题：讨论函数F(x)3,0x1的单调性

x1,x03. 探索题：指出函数yx24x1,xR的单调区间

思考：二次函数yx2bxc

的单调区间与哪个量有关？

求函数yx2bxc,x[0,)为单调函数的充要条件。

设计意图：使学生养成先看书，后做作业的习惯。基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，

使学生在完成基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

教学评价：

教师应重视学生的学习过程。重视他们学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感。教学过程中注重师生合作，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯。通过学习过程，提高学生的探索能力和思维品质，为学生的可持续发展打下基础。