3.2.2 对数函数第二课时教案

高中数学

对数函数及其性质

一、考点突破

1. 对数函数的定义；

2. 对数函数的图象与性质及其灵活运用。

二、重难点提示

重点：理解并掌握对数函数的定义。

难点：解决对数函数性质的相关问题。

1. 对数函数的定义

一般地，函数ylogax(a0,a1)叫做对数函数，其中x是自变量。底数a是一个大于0且不等于1的常数，函数的定义域是正实数集R，值域是实数集R。

2. 对数函数的图象及其性质

函数名称

定义

对数函数

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数

a1

0a1

图象

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

在(0,)上是增函数

(0,)

R

图象过定点(1,0)，即当x1时，y0

非奇非偶

在(0,)上是减函数

logax0(x1)函数值的

变化情况

logax0(x1)

logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)

a变化对

图象的影响

在第一象限内，a越大，图象越低；在第四象限内，a越大，图象越高

易错点：对数函数的定义域。

示例：函数lg(x1)lg(4x)的定义域为_________。

思路分析：考查对数函数，即真数必须大于0。要使得函数lg(x1)lg(4x)有意义，x10

解得：1x4。

则：4x0答案：(1,4)

例题1

函数y(a3)·logax是对数函数，则a=________。

思路分析：对数函数的特征：①系数为1；②a0且a1；③真数就是自变量x。

答案：解：由对数函数的定义有

2a231，解得

a2或a2

又

a0且a1a2

技巧点拨：高频易错点是对数函数的表现形式是的取值范围以及真数x的取值范围。

例题2

分别求解下列函数的定义域：

（1）ylog3(1x)（2）yylog要注意系数为1，底数aax，1

2xlog2(3x2)

3思路分析：（1）根据对数的真数大于0，分母不能为0，以及二次根式的被开方数必须为非负数，即可求出函数的定义域；

（2）根据二次根式的被开方数必须为非负数，对数函数的真数大于0，以及对数函数的单调性，即可求出函数的定义域。

答案：解：（1）要使得ylog3(1x)1有意义，

2x1x0，解得：x2。

2x0故该函数的定义域为(,2)。

则：（2）要使得ylog2(3x2)有意义，

33x20则：log(3x2)0，即：03x21，

232解得：x1。

32故该函数的定义域为(,1]。

3

例题3

求函数ylog2(1x)的值域。

思路分析：1. 函数定义域是解决函数问题的核心，所以解决好这个问题，必须要先清2

楚对数函数对定义域的要求。

2. 求解对数型函数的值域，重点掌握好对数函数的图象。

答案：解：令u1x2,u0，∴1x0，

解得：1x1

∴01x1

∴log2(1x2)0，

∴函数ylog2(1x2)的值域为(,0]。

技巧点拨：在求复合函数的值域时，

①善于利用整体思想，将一个表达式看成是一个整体，将其设为一个新的中间变量；

②善于利用数形结合思想，画出局部函数图象，求出中间变量的范围，从而再求出复合函数的值域。

【高频疑点】

22分段函数巧求值

示例：已知log2x,x0,1f(x)x

则f(8)______ ，f[f()]_______。

43,x0.141414思路分析：对于分段函数的函数值的求解，关键是判断自变量属于哪个区间，然后再找对应的函数解析式，代入即可。

对于类似于f[f()]的求值，按照从里到外的顺序求。先求f()的值，再求f[f()]的值。

解：f(8)log283，

11f()log22，

44112∴f[f()]f(2)3

491答案：3；

9

【方法提炼】

巧用对数函数单调性比大小

示例：设alog3,blog23,clog32，则a、b、c的大小关系是________。

思路分析：1. 重视对数比较大小化为同底数，再利用单调性比较大小。2. 利用中间值来比较大小，传递好大小关系。

解：∵alog3log331，∴a1，

又∵blog23log241，∴b1，

11，∴b，

22∵clog32log391，∴c1，

blog23log22

clog32log33综上，cba。

11，∴c，

22