对顶角、余角和补角第一课时导学案

2．1

两条直线的位置关系

第1课时

对顶角、补角和余角

1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；

2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．(重点，难点)

一、情境导入

如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？

二、合作探究

探究点一：对顶角及其性质

【类型一】

对顶角的概念

下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(

)

解析：选项A中的两个角的顶点没有公共；选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.

方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】

直接运用对顶角的性质求角度

如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．

解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度数．

解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．

方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

探究点二：补角和余角

【类型一】

利用补角和余角计算求值

已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．

解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从

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而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．

解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故∠B的度数为15°. 方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】

补角、余角和角平分线的综合计算

如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．

解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°.1根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB.根据解方程，可得∠AOB的度数．根据角的和差，可得答案．

2解：∵∠AOB与∠COM互补，∴∠AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°.∵∠11COB＝90°，∴∠AOB＋∠BOM＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠22AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.∵ON平分∠AOC得11∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°. 22方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

【类型三】

补角和余角的性质

如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

(1)如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理由；

(2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；

(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．

解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；(2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可．

解：(1)CD是∠ECB的角平分线．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB，∴CD是∠ECB的角平分线；

(2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，∴∠ACE＝90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB；

(3)∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°. 方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

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三、板书设计

1．对顶角相等；

2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．

本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步

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