3.1 勾股定理教学实录及点评

3.1勾股定理

【教材简解】

《勾股定理》是新苏科版八年级上册第三章第一节的内容。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数学发展史上的一座里程碑，同时在生活中具有广泛的用途。教材从1955年希腊发行的邮票导入，通过观察邮票上的图案，数小方格个数引入对勾股定理的研究，教材设计注意培养学生的动手操作和分析归纳问题的能力，通过实际操作，让学生获得较为直观的印象，并对数学定理发现的过程有一定的感悟。

【目标预设】

1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力；

2．理解和掌握勾股定理，并能应用勾股定理解决简单的问题，体会数形结合的思想；

3．了解勾股定理的文化背景，感受勾股定理的文化价值，体会我国古代数学的源远流长，增强民族自豪感。

【重点、难点】

重点：经历猜测、探索的过程，探究勾股定理和证明

难点：用割补的方法将不能利用网格线直接计算面积的图形转化为可以利用网格线直接计算面积的图形

【设计理念】

采用合作的方式，共同探究勾股定理，整个过程注意引导学生自己动手画图、计算、分析、合作、归纳并验证，教师适时配合学生、帮助学生，因为只有学生自己探索出来的东西才真正属于学生，真正体会到知识的建构过程。

【设计思路】

课前热身，让学生先自主想到利用割补的方法求出图形的面积，再类比引申到网格线中计算不能直接计算面积的图形，从而突破难点。而合作探究的环节，是让学生体会到我们所有的猜想只有得到演绎推理的论证，才能形成结论。勾股定理的历史介绍是为了让学生感受我国古代数学的源远流长，增强民族自豪感。

【教学过程】

1．课前热身：

求下列图形的面积

63551

2．问题导入：你能利用相同的方法，在网格线中求图形的面积吗？

2

3．探索研究：

在方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积。

你所画的3个正方形面积之间有怎样的数量关系？

4．合作探究：

拿出自己小组课前准备的卡片，请你动手，将他们拼成如图1、2的形状，比较两个图形，你有什么发现？

5．水到渠成，得出结论：

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

你能借助图形，写出勾股定理的符号语言吗？

在Rt△ABC中ACB90

∴AC2BC2AB2

6．介绍历史：

为什么称为勾股定理呢，因为我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的先驱，也是数形结合最好的体现之一。这样一个这么重要的定理，最早发现于我们中国。在我国古代，据《周髀算经》记载，公元前1000多年，商高就发现了“勾三股四弦五”的结论，公元三世纪的三国时期著名数学家赵爽就用弦图验证了勾股定理。在西方，因为这个定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以勾股定理也称为毕达哥拉斯定理，比我国的发现晚了几百年。

7．逆向推导，深化理解：

直角三角形三边满足：两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么锐角三角形是否满足这样的关系呢？钝角三角形呢？

完成课本练习题的第3小题

得出结论：只有直角三角形的三边满足这样的关系，勾股定理的使用前提是直角三角形.

8．简单应用：

（1）课本习题3.1的第二小题

（作为例题，规范解题格式.体会实际问题

数学问题）

ACB90

解：在Rt△ABC中，A有

AC2BC2AB2

h21.522.52

h2.5mC1.5mB

h22.521.52

h24

h2或h2（舍去）

∴h2

答：梯子顶端的高度为2米. （1）知二求一：课本练习题的第1小题

（2）利用正方形的关系解题：课本练习题的第2小题

9．巩固提高：

（1）已知：直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边的平方.

（2）如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由。

10．回顾反思：

本节课你学到了什么知识？用到了什么方法（或思想）？你有什么感悟？

课后建议：查阅资料，收集古今中外有关勾股定理的有趣故事. 11．当堂检测：

（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（

）

A．13

B．26

C．47

D．94

（2）（2014山东东营中考）如图，有两棵树，一颗高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，求小鸟至少飞行多少m？

板书设计：

3.1勾股定理（1）

勾股定理：前提——直角三角形

结论——两条直角边的平方和等于斜边的平方

符号语言：

在Rt△ABC中ACB90

∴ACBCAB

222

（例题）解：在Rt△ABC中，ACB90

有

AC2BC2AB2

Ah21.522.52

h2.5mh22.521.52

C1.5mB

h24

h2或h2（舍去）

∴h2

答：梯子顶端的高度为2米.