3.3 勾股定理的简单应用教学目标

初二

《§3.3 勾股定理的简单应用》

教学设计

无锡市查桥中学

包丽敏

◎教材分析

勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，它为我们提供了解直角三角形三边之间的数量关系，其逆定理又为我们提供了判定三角形为直角三角形的依据，这些方法被广泛应用于数学和实际生活的各个方面。

本课在学生学习了勾股定理及其逆定理的基础上，进一步研究它在实际生活中的应用。通过本节课的学习，可以帮助学生理解勾股定理的应用方法，熟悉如何通过构造直角三角形来解决更多的应用问题，同时也为学生对数学学习与生活之间的联系有更深的体会。

◎教学目标

1、能运用勾股定理级直角三角形的判定条件解决实际问题；

2、构造直角三角形，利用勾股定理解方程；

3、运用勾股定理街上生活中的实际问题；

4、鼓励学生利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法；

5、使学生认识到数学来源于生活，并服务于生活，从而增强学习数学、运用数学方法的信心和能力。

◎教学重点

能运用勾股定理机器逆定理解决实际问题。

◎教学难点

鼓励学生掌握并运用数学转化思想（斜三角形中构造直角三角形解决问题），并提高有条理的表达能力。

◎教学过程

一、知识回顾：

1、勾股定理：直角三角形两直角边的

等于

。

如果用a,b和c表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

。

2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b，c满足

，

那么这个三角形是直角三角形。

3、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是

(

) A.1.5, 2, 3;

B.7, 24, 25

C.6 ,8, 10

D.9, 12, 15 4、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（

）

72520242524202425207242025(D)15715(A)7(B)1515(C)

5、如图，在△ABC中，∠C=900

，

则S1

、S2 、S3 之间的关系是

；

简单说明理由。

（↑

设计意图：简单的知识回顾，既可以唤醒学生的知识记忆，也能鼓励学生把勾股定理及其逆定理融合在题目中，灵活运用、有效转换。）

C S1

a B c b S2

A 1 S3

二、新知引入

1、欣赏图片

2、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管有多长？

A B C

3、引入课题：勾股定理的应用

（↑

设计意图：

通过观察图片，直观的引入实际问题，从中抽离出直角三角形的基本图形，利用勾股定理解决简单的应用问题。

）

三、例题展示

例1、(古题鉴赏) “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：

“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”

（先讨论，在给出题意。）

题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

（↑

设计意图：例1 选用了《九章算术》中的数学问题，引起学生的兴趣；通过讨论和理解题意，自主的把问题“转化”到直角三角形，利用勾股定理中“方程”的思想解决问题。

）

2

例2、如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离

为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1 m?

A

10

C B

（↑

设计意图：例2 选用了贴近人们身边的有经验的事例，让学生体会利用勾股定理解决问题的便利性；同时也进一步明确了勾股定理的价值和意义。）

例3、如图，在四边形场地ABCD中，已经通过测量得知∠B=90°，AB=9 m，BC=12 m，AD=8 m，CD=17 m．求：⑴AC的长．

⑵四边形场地ABCD的面积．

D

A

B C

（↑

设计意图：例3 是将勾股定理及其逆定理的有机整合，鼓励学生有条理的书写解题过程，以及规范勾股定理逆定理的格式和要求。）

例4、有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)。

B (1) 如图,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A点到B 点的最

短路线是什么?你画对了吗? (2) 蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是什么？

A

（↑

设计意图：例4来源于学生的用餐，利用食堂的汤桶而联系的问题。其主要目的在于引导学生将立体图形“转化”为平面图形，从而理解如何构造直角三角形解决立体图形中的“最短路程”问题。）

A 8 B

3

四、拓展延伸

【蚂蚁爬行最短路程问题】

如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？

（↑

设计意图：拓展问题是例4的引申，鼓励学生掌握两点：一是将立体图形转化为平面图形，二是分类讨论思想；同时也进一步明确了勾股定理的使用价值和意义。）

五、课堂小结

实际问题构造直角三角形数学问题

（在直角三角形中已知两边，可以求出第三边。）(在直角三角形中，知道一边及另两边关系，可以求出未知的两边.) (在三角形中，知道三边长，可以求出任意一边上的高，以及三角形面积.)

六、当堂检测

1、⊿ABC中，若AC2＋AB2= BC2，则∠B＋∠C=

。

2、已知一个三角形的三边长分别是8cm，15cm，17cm，则这个三角形的面积为

。

3、如果一个三角形的两条直角边之比是3∶4，且最小边的长度是6，最长边的长度是________。

4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为______cm.

4

5、如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是

.

B

A20

3

2

A

（5题图）

（6题图）

B

6、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（3）

在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，

需要爬行的最短路程大约（

）

A. 10cm

B. 12cm

C. 19cm

D. 20cm 5B7、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，

C点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从

点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

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A

七、教后反思

本节课从基本知识出发，通过对勾股定理及其逆定理的复习和巩固，加深了学生对构造直角三角形解决方法的理解和运用，鼓励学生，在探索、思考、讨论、合作中，进一步提升知识，形成技能。同时，促使学生应注意对各种题型中条件的理解和对结论的分析，合理选用勾股定理或者其逆定理的知识武器，不断激励学生为接下来的学习，打好坚实基础。

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