6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式教学实录及点评

“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”

罗伟 江苏省徐州市第二十四中学 教学过程: 教师出示三驾马车的图片，

师：这幅图片展示的是三驾马车——一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（教师板书课题），在古代，三驾马车是帝王及军中统帅才能享受的的交通工具，这节课,它将带我们去领略数学的风采，感受数学的魅力.下面请同学读学习目标. 学习目标：

1．了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决实际问题过程中的作用和联系，能综合运用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式解决相关的问题. 2．学会用函数的观点去认识问题，掌握数形结合、转化的思想及等量代换的方法. 师：首先我们走进生活. 一、生活情境

一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm. （1）写出y与x之间的函数表达式 . （2）根据实际意义，画出函数图像. （3）当弹簧的长度为30cm时,求物体的质量.

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（4）试求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．

（你会用几种方法都写出来）

先由学生自己审题，采取学生做完一题，教师评讲一题的方式，第（1）题结果为第（2）题有学生取点（0，25），再令y0，解得x50，取点

（50，y250.5x，0）来画图像，结果是一条直线，

教师请其他同学来分析. 经过两分钟的交流，

生：一次函数的画法，就是取两个点，再连线. 另外学生举手，回答道：弹簧秤所挂物体的质量和弹簧的长度都是正数，因此这两个变量要有取值范围. 师：可以画出直线，然后再把多余的部分擦掉.把哪些部分擦掉呢？我们一会再研究，先看怎样取点比较合适呢？

生：可以取点（0，25）、（10，30）

，

师：画出的图像是什么呢？ 生：一条线段，因为y最大值为35 . 此时从图像看对应x的值为20. 这时，刚才画直线的学生明白了，把图像的多余部分去掉了如图1所示.

图1 第（3）题大部分学生列方程为30=25+0.5x,解得x10. 教师板书：y30y255x30250.5x

师: 第（4）题如何解答呢?有几种解法呢? 学生做完之后请学生板演, 有的同学列方程35250.5x,解得x20,请一学生解释：在一定限度内，所挂物体质量越大，弹簧长度越长，故当质量取最大值时，长度最长，故取y35代入一次函数中，转化为一元一次方程.

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师：一次函数，当一个变量值确定时，比如y，就转化为一元一次方程，这就显示了一次函数与一元一次方程的关系.还有别的方法吗？

另一同学在黑板上书写250.5x35，解得x20，其解释为弹簧长度最多为35，故可以列不等式. 师：什么时候一次函数能转化为一元一次不等式呢？

生：一次函数，当一个变量的取值范围确定，就转化为一元一次不等式. 教师接着板书：250.5x35y35y30y255x30250.5x

师：这样，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式就建立了联系. 师：在我们初步了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式关系的基础上，下面我们去迎接数学问题的挑战，首先走进“数”的天地. 二、数学问题

(一)“数”的天地

1.（1）方程2x40的解是_______；

（2）不等式2x40的解集是________；

（3）不等式2x40的解集是________. 学生做完后，让学生口答，这是七年级学的最基础的知识，教师无需解释. 2. （1）当自变量x 时, 函数y2x4的值等于零；

（2）当自变量x 时, 函数y2x4的值大于零；

（3）当自变量x 时, 函数y2x4的值小于零. 学生做完后，请一学生逐一回答，第（1）题函数的值也就是y的值，函数的值为0，也就是y0，于是一次函数就转化为一元一次方程2x40. 教师板书：y0y2x42x40

师：当函数的值确定，一次函数就转化为一元一次方程. 再一找一同学回答第（2）问，函数的值大于0，即y0，于是一次函数就转化为一元一次不等式2x40. 教师接着板书：2x40y0y0y2x42x40

师:类似的，一次函数与一元一次不等式有什么关系呢？

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生：当函数的变量取值范围确定，一次函数就转化为一元一次不等式. 师：这样，我们从数的方面认识了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的关系，数学主要是由数和形两方面构成，下面我们从形的角度来探究他们的关系.我们一起走进“形”的世界. (二)“形”的世界

3.一次函数y2x4的图像是一条经过点（ 0 ， ）、点（ ， 0 ）的直线. 4.在图2的坐标系中画出y2x4的图像. 这两题没遇到困难，找学生回答两个点的坐标，到黑板上画图，如图3所示. 根据一次函数y2x4的图像，观察可知2x40的解是_______ ；2x40的解是_______ ；2x40的解是________.

图2 图3 大部分学生都填对了结果，估计有学生不是根据图像观察，而是解不等式求出的，故找学生回答，如何做出来的.2x40的解，也就是y0时，一次函数图像与x轴交点的横坐标，观察得x2，我们知道，一次函数的图像是直线，是由无数个点构成的，一元一次方程的图像是点，2x40的解即y0，图像在什么位置呢？

生：在x轴的上方. 找一同学到黑板上用红色粉笔描出来.第一个同学没描对，再找一个同学进行订正. 师：在x轴的上方图像部分对应的自变量的取值范围是什么呢？

生：x2. 师：当x2时，y0，这个一次函数的图像，y随着x的增大而增大，所以2x40的解是就是x2.类似的，2x40的解是函数的哪部分？你能描出并写出解吗？

生齐答：在x轴的下方，解是x2.

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师：一元一次不等式对应的图像是什么呢？

部分学生：射线. 师：这样，我们从形的角度通过观察图像分别求出了一元一次方程、一元一次不等式的解，这里呈现了数形结合的思想，数形结合是数学中解决问题的一种重要思想，数学家华罗庚指出“数缺形时少直觉，形缺数时难入微.”下面我们对例题进行延伸. 师：当x________时，2x42，

经过三分钟的思考，交流，学生找到了两种方法，一种解不等式，一种观察图像. 教师对这两种方法都进行了表扬，同时提出你觉得那种方法简单呢？

生：解不等式. 师：观察图像得出结论拓宽了我们的思维，找到了解决问题的新办法，以后在做题时如果题目没有要求，要选择适合自己的方法. 5.归纳总结：

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系. 一个变量值确定一元一次方程（点）教师板书：一次函数（直线）

一个变量取值范围确定一元一次不等式（射线）师：求一元一次方程和一元一次不等式我们可以有两种方法，分别是从数、形两方面考虑，你会要选择适合、简单的方法解决问题吗？下面请看例题. 三、例题精讲

如图4是一次函数yaxb的图像．

图4 （1）根据图像说出axb0的解； （2）根据图像说出axb0的解集； （3）根据图像说出axb0的解集. 学生先自己做，后交流，教师巡视.发现了两种方法

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方法1：图像与坐标轴的交点坐标为（-3， 0 ）、（0，3 ），

代入yaxb中，可得03aba1，解得

b33b故（1）axb0即x30，解为x3

（2）axb0即x30，解为x3

（3）axb0即x30，解为x3

教师对这位学生进行了赞扬和肯定，然后指出，本题要求是根据图形求解，请哪位同学从这方面解题？

然后找一位同学到黑板前面进行讲解，师生共同分析. 方法2: axb0的解，就是当y0时，一次函数图像与x轴交点的横坐标，观察得x3，axb0的解集，就是y0时，自变量x的取值范围即x3，类似，axb0的解集，就是y0时，自变量x的取值范围即x3. 师：数形结合是数学中常用的思想，有时可以使问题简便.同学们，这节课你学会了吗，下面我们进行巩固练习. 四、巩固练习

1．x取什么值时，函数y2x4的值是正数？负数？非负数？

2．声音在空气中的传播速度（简称音速）y（m/s）与气温x（℃）之间的函数表达式为y3x331．求：

5（1）音速为340m/s时的气温；

（2）音速超过340m/s时的气温范围. 3．如图3，试根据一次函数y2x4的图像观察2x46的解是_______ ；2x＋46的解是_______ ；2x＋46的解是_______ ．

五、课堂小结：

学生自己说说这节课有什么收获？

教师补充：这节课我们从函数的视角、数形结合两个方面对一元一次方程、一元一次不等式进行了再认识，这样我们看待问题更有深度、广度，同学们，函数、方程、不等式在高中、大学仍是解决数学问题的有力武器，被称为三驾马车（教师板书）

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师：下面还有一个问题，留给同学们课后进行思考，培养你的创新意识. 六、思维创新

一辆汽车行驶了35km后，驶入高速公路，并以105km/h的速度匀速行驶了xh.试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解．

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