2.2.1 函数的单调性教学实录与评析

《函数的单调性》教学设计

宿豫实验高级中学

池振忠

课 题

《函数的单调性》

教材分析

本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察，对比的思想推导函数单调性的定义，该方法再次体现了数形结合的主要思想。

教学目标

1．理解函数单调性的相关概念。掌握证明简单函数单调性的方法。

2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和对比类比等思想方法。

3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。

4．引导学生参与课堂学习，培养学生积极探讨问题的能力，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力。

教学重点

函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。

教学难点

函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证。

教学方法

讲授法、合作探究法、情景法

一课时

教学手段

电子白板PPT 教学课时

一．

导入：

教

引例:下图是2017年11月中下旬宿迁市对当地空气质量指数检查得到的曲线图.

请你根据此图说说空气指数的变化情况？（请同学回答）

学

过

程

预设：学生的关注点不同，如指数的最值，某一天的指数数值，某时间段空气指数的升降变化（若学生没指明时间段，可追问），等。

图象在某区间上（从左往1

右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。

设计说明：从空气指数调查事例来导入新课，直观形象感知函数的单调性的存在。

二．引导探索，生成概念

图像

自然语言

在定义域-1,1上，

fx随着x的增大而增大

数学语言

给出上述表格

问题1：能类比第一个图下方的自然语言叙述，完成第二个图下方的自然语言叙述吗？（请同学回答）

在定义域

x



随着（答案：



-1,1



的区间

-1,0



，

f

x

的增大而减小；

）

在定义域-1,1的区间0,1，fx随着x的增大而增大；预设：学生会回答出答案，但可能不够完整。

设计说明：学会用自然语言描述图形中的“上升”，“下降”

图像

自然语言

在定义域-1,1上，

fx随着x的增大而增大

在定义域-1,1的区间-1,0，

在定义域-1,1的区间0,1，fx随着x的增大而减小；fx随着x的增大而增大；数学语言

问题2：观察表中画横线的地方，可以看出在给函数的单调性下定义的时候，2

要强调函数的定义域，怎么用数学语言来表示呢？

预设：学生会回答出答案，但可能描述的不够清楚。

设计说明：强调函数的单调性是相对于定义域的某个区间，是函数的局部性质.

图像

自然语言

数学语言

问题3：类比上面前面填写的表格，能填写现在这个表格吗？（请同学来说）

预设：有了前面的讲解，同学对于这个表格应该没有问题，若填写的不够完整，提示补充完整。

设计说明：从具体的某个函数，推广到一般的函数，强调函数的单调性是相对于定义域的某个区间，是函数的局部性质.

图像

自然语言

数学语言

在定义域0,3上，fx随着x的增大而增大

3

问题4：观察表中画横线的地方，怎么用数学语言来表示当x增大时，fx也增大呢？（大家讨论）

预设：这个问题给予一定的时间讨论，同学想到的不是太多，若预习课本，则相对好一些，可能会需要给一些提示。

设计说明：此表格意在引出函数单调性定义中的

当x1x2时，fx1fx2，函数是递增的。

图像

自然语言

数学语言

在定义域0,3上，

在定义域0,3的区间0,1，

fx随着x的增大而增大；

在定义域0,3的区间1,3，

fx随着x的增大而增大；fx随着x的增大而增大

x

1x2fx1fx2

f



x问题5：是不是当有

x

1



x

2

f



x

1





2



时，函数就一定是递增的？

（给予充分的时间，让同学们小组讨论）

预设：这个问题给予一定的时间讨论，同学很容易的发现不是的，继续追问什有么时候当

x

1



x

2

,

f



x

1





f



x

2



函数就一定是递增的。

设计说明：此表格意在引出函数单调性定义中的“任意”和“都”.

问题6：能给出增函数的定义吗？

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)．这时我们就说函数yf(x)在区间D上是增函数．（板书）

问题7：类比增函数的定义，给出减函数的定义吗？（同学来说）

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，4

都有f(x1)f(x2)．这时我们就说函数yf(x)在区间D上是减函数．

三．学以致用

判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由。（举例或者画图）

（1）设函数yf(x)的定义域为[a,)，若对任意xa，都有f(x)f(a)，则yf(x)在区间[a,)上递增；

（2）已知ax1x2x3x4b，若有

f(a)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(b)，能保证函数yf(x)在区间[a,b]上递增吗？

（3）反比例函数f(x)1的单调递减区间是(,0)(0,)。

x设计说明：让学生分组讨论，然后作展示性回答。若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎么修改）。通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解。

例题：证明函数f(x)x22x在区间(3,6)上单调递增. 练习：证明函数f(x)2在区间(0,)单调递减. x设计说明：对照定义板书示范，指明变形等，并让学生提炼证明的基本步骤。

四．回顾反思，深化认识

课堂小结：

通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？

（关键词：三种语言，证明方法，数形结合，对比思想，等。）

设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高。

五．布置作业

课堂作业：1.习题1.3第1、2题。

2.归纳以下函数的单调性。

ykxb(k0)yax2bxc(a0)

1y

x

5

3.探究：你知道二次函数的最值吗？最值的含义是什么？

你知道什么样的函数存在最值吗？

六．板书设计

函数的单调性

递增：（板书定义）

递减：（学生类比）

六、教后反思

反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况，等。

例题（提炼步骤，明确变形方向）

练习（学生板演）

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