2.2.1 函数的单调性教学设计实例

函数的单调性教学设计

【教学目标】

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象

单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】

函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

【教学方法】

教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】

计算机、投影仪．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

课前布置任务：由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. 二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内

y随x的增大而减小． (2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． (3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增

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函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

如何从解析式的角度说明在为增函数？

预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数． (2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数． (3) 任取,因为,即，所以在为增函数．

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫. 3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义． (1)板书定义 (2)巩固概念，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法，适当延展

例

证明函数在上是增函数。

小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． (3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

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