3.4.1 函数与方程优秀教学设计

课题：函数与方程

瓜洲中学

朱宏

一、教材分析

本节内容为苏教版高中数学必修一教材3.4.1内容，主要研究函数与方程的

关系。在前面学习了利用指数、对数求出方程解得基础上，以二次函数为例，讨论二次方程的根与二次函数图像与x轴交点的关系，引出函数的零点的概念和函数零点存在性定理。为今后学习的函数以及图像、讨论方程的根的个数、数形结合奠定了基础，是高中数学的重要内容，也是高考中常考的内容。

二、教学目标

1、知识与能力目标：理解函数的零点的概念，了解函数与方程的关系，掌握零点存在性定理，会使用零点存在性定理解决简单的问题。

2、过程与方法目标：通过教师引导、学生自主、合作探究的方式，结合多媒体进行教学，让学生自己体会数形结合的思想方法，培养学生学习兴趣，并培养学生互帮互助的学习风气。

3、情感态度与价值观：通过学生自主探索的过程，培养学生科学研究的精神，鼓励学生大胆质疑、勇于探索，培养学生积极的人生观。

三、教学重点、难点

重点：零点存在性定理

难点：零点存在、零点大致区间的判断。

四、教学过程

1、情景引入

观察二次函数yx22x3的图像，并通过图像指出x取哪些值时，y0。

结论：方程的根是函数图像与x轴交点的横坐标

-1O13xy

2、数学建构：

（1）函数的零点的定义：

我们把使得函数yfx的值为0的实数x的值称为函数yfx的零点。

问题1：零点是点吗？

学生思考：

学生交流讨论并回答：

问题2：函数零点与方程的根有什么关系？

学生思考：

学生交流讨论并交流：

（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间关系：

△＝b2－4ac

△＞0

y

△＝0

y

△＜0

y

ax2＋bx＋c＝0的根

y＝ax2＋bx＋c的图象

x1

O

x2

x

O x1＝x2

x

O

x

y＝ax＋bx＋c的零点

2

学生归纳总结：

①

函数yfx的零点就是方程fx0的根；（从数的角度）

②函数yfx的零点就是yfx的图像与x轴交点的横坐标。（从图形的角度）

设计意图：让学生通过对函数零点的概念的理解，找出与方程的根以及图像之间的关系，直接建立了函数与方程的关系。

例1、求证：二次函数y2x23x7有两个不同的零点

例2、判断函数fxx22x1在区间2,3上是否存在零点？

学生1：求根公式并判断

学生2：利用函数图像判断，f210,f320，二次函数fxx22x1在区间2,3上的图像是不间断的，所以一定穿过x轴，即函数在区间2,3上与x轴有交点，即函数在区间2,3上有零点。

问题3：如何利用图像求解方程lgx3x？

①判断方程是否有解？

②如果有解？能否找出解所在的一个区间？

学生思考并合作学习：

（2）零点存在性定理：

①若函数yfx在区间a,b上的图像是一条不间断的曲线

②fafb0

则函数yfx在区间a,b上有零点。

问题4：为何要在闭区间a,b上连续不间断，能否改为a,b上呢？

问题5：为何区间端点值要异号？能否改为同号？

问题6：函数yfx在区间a,b上零点个数是否唯一？

问题7：若函数yfx在区间上为单调函数，则函数yfx的零点是否唯一呢？

问题8：命题“若函数yfx在区间a,b上的图像是一条不间断的曲线，且函数yfx在区间a,b上有零点，则fafb0”正确吗？

学生合作自主探索

设计意图：通过一系列问题的提出，引导学生深层次理解零点存在性定理的内容，突出重点，并理解两个条件的重要性，缺一不可。

例3：求证：函数fxx3x21在区间2,1上存在零点。

例4：判断方程lgx3x是否有解？并找出解所在的一个区间。

学生板演完成

设计意图：通过具体例题，加深对定理的理解，让学生对零点存在性定理学以致

用。

五、设计简要说明

通过学生认知里已有的函数二次函数为例，引出函数零点的概念，引导学

生从数、形两个角度判断函数在区间上的零点，从而引出零点存在性定理，并提出一系列的问题，引导学生从深层次理解定理中的两个条件的重要性，并给出两个例题让学生加深理解并加以应用。